Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 12. Построение графиков функций по характерным точкам

Демидович — задача 1543

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Представив уравнение кривой в параметрической форме, построить кривую

Задача 1543

x2y2=x3−y3x^2y^2=x^3-y^3
ПостроениеПараметрическое задание кривой имеет видx=1−t3t2y=1−t3tt∈R∖{0}x=\frac{1-t^3}{t^2}
\qquad
y=\frac{1-t^3}{t}
\qquad
t\in\mathbb R\setminus\{0\}При t=1t=1 получается точка O(0,0)O(0,0). Одна ветвь проходит
через первую и третью четверти, другая лежит в четвёртой четверти; кривая
симметрична относительно y=−xy=-x.

Построение

При x=0x=0 уравнение даёт y=0y=0, поэтому начало координат принадлежит
кривой. Для x≠0x\ne0 положимy=txy=txТогдаt2x4=x3(1−t3)t^2x^4=x^3(1-t^3)и после деления на x3x^3 получаемx=1−t3t2y=1−t3tt≠0x=\frac{1-t^3}{t^2}
\qquad
y=\frac{1-t^3}{t}
\qquad
t\ne0Хотя при выводе предполагалось x≠0x\ne0, при t=1t=1 полученные формулы дают
точку O(0,0)O(0,0), которая удовлетворяет исходному уравнению. Поэтому значение
t=1t=1 включается в параметрическое описание.
Исследуем знаки координат. Если 0<t<10<t<1, то x>0x>0, y>0y>0. При t=1t=1
кривая проходит через начало координат, а при t>1t>1 имеем x<0x<0, y<0y<0.
Так получается ветвь, идущая из первой четверти через начало координат
в третью четверть. В точке t=1t=1dxdt=−3dydt=−3\frac{dx}{dt}=-3
\qquad
\frac{dy}{dt}=-3поэтому касательная в начале координат имеет уравнение y=xy=x.

При t<0t<0 всегда x>0x>0, y<0y<0. Получается отдельная ветвь в четвёртой
четверти. Она пересекает прямую y=−xy=-x при t=−1t=-1 в точкеB(2,−2)B(2,-2)и имеет там касательную с угловым коэффициентом 11.
Для воспроизведения формы этой ветви найдём точки с вертикальной и
горизонтальной касательными. Имеемdxdt=−1−2t3dydt=−2t−1t2\frac{dx}{dt}=-1-\frac2{t^3}
\qquad
\frac{dy}{dt}=-2t-\frac1{t^2}При t=−23t=-\sqrt[3]{2} обращается в нуль dxdt\frac{dx}{dt}, поэтому вертикальная
касательная проходит через точкуV(3223,−3213)V\left(\frac3{2^{\frac23}},-\frac3{2^{\frac13}}\right)При t=−2−13t=-2^{-\frac13} обращается в нуль dydt\frac{dy}{dt}, поэтому горизонтальная
касательная проходит через точкуH(3213,−3223)H\left(\frac3{2^{\frac13}},-\frac3{2^{\frac23}}\right)
Уравнение сохраняется при преобразовании(x,y)⟼(−y,−x)(x,y)\longmapsto(-y,-x)поэтому вся кривая симметрична относительно прямой y=−xy=-x. Поведение
ветвей на бесконечности удобно уточнить по параметрическим формулам:x−y2=t−t4⟶0t→0x-y^2=t-t^4\longrightarrow0
\qquad t\to0иy+x2=1t4−1t⟶0∣t∣→∞y+x^2=\frac1{t^4}-\frac1t\longrightarrow0
\qquad |t|\to\inftyТаким образом, удалённые части кривой сближаются соответственно с
параболами x=y2x=y^2 и y=−x2y=-x^2.

Построение графика

Параметрический график строится отдельно на промежутках
t>0t>0 и t<0t<0, чтобы не соединять ветви через запрещённое значение t=0t=0.
На рисунке отмечены начало координат и характерная точка B(2,−2)B(2,-2),
лежащая на оси симметрии. Точки VV и HH с вертикальной и горизонтальной
касательными определены в ходе исследования.график к задаче Демидовича № 1543

Ответ

Параметрическое задание кривой имеет видx=1−t3t2y=1−t3tt∈R∖{0}x=\frac{1-t^3}{t^2}
\qquad
y=\frac{1-t^3}{t}
\qquad
t\in\mathbb R\setminus\{0\}При t=1t=1 получается точка O(0,0)O(0,0). Одна ветвь проходит
через первую и третью четверти, другая лежит в четвёртой четверти; кривая
симметрична относительно y=−xy=-x.

Проверка

Запишем координаты как x=t−2−tx=t^{-2}-t, y=t−1−t2y=t^{-1}-t^2. Их производные равны −2t−3−1-2t^{-3}-1 и −t−2−2t-t^{-2}-2t. Если c=23c=\sqrt[3]2, то при t=−ct=-c имеем 1−t3=31-t^3=3, поэтому (x,y)=(3/c2,−3/c)(x,y)=(3/c^2,-3/c). При t=−1/ct=-1/c числитель 1−t3=3/21-t^3=3/2, откуда (x,y)=((3/2)c2,−(3/2)c)=(3/c,−3/c2)(x,y)=((3/2)c^2,-(3/2)c)=(3/c,-3/c^2). Так получаются координаты обеих особых касательных.

Параболические приближения проверяются раскрытием квадратов:y2=t−2−2t+t4,x−y2=t−t4;y^2=t^{-2}-2t+t^4,\qquad x-y^2=t-t^4;x2=t−4−2t−1+t2,y+x2=t−4−t−1.x^2=t^{-4}-2t^{-1}+t^2,\qquad y+x^2=t^{-4}-t^{-1}.Для каждой ненулевой точки параметр однозначно равен y/xy/x, а начало координат достигается только при t=1t=1. Поэтому самопересечений нет; разделение на t<0t<0 и t>0t>0 даёт именно две указанные ветви.
Демидович № 1543 — решение и ответ | Высшая математика — Профиматика