Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 12. Построение графиков функций по характерным точкам

Демидович — задача 1521

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Задача 1521

Построить график функции

y=(x+2)e^{\frac1x}

ПостроениеОбласть определения

\mathbb R\setminus\{0\}

. Нуль

(-2,0)

, локальный максимум

(-1,\frac1e)

, локальный минимум

(2,4\sqrt e)

и точка перегиба

(-\frac25,\frac8{5e^{\frac52}})

. Асимптоты:

x=0

y=x+3

Построение

Идея

Область определения функции равна

D=(-\infty,0)\cup(0,+\infty)

Поскольку показательная функция положительна, знак

y

совпадает со
знаком

x+2

. Единственный нуль имеет координаты

(-2,0)

1
Одностороннее поведение около исключённой точки различно: $\lim_{x\to0^-}(x+2)e^{\frac1x}=0$ $\lim_{x\to0^+}(x+2)e^{\frac1x}=+\infty$ Поэтому $x=0$ является вертикальной асимптотой по правой стороне, а
точка $(0,0)$ — предельная точка левой ветви, не принадлежащая графику.

Первая производная равна $y'=e^{\frac1x}\left(1-\frac{x+2}{x^2}\right)=e^{\frac1x}\frac{(x-2)(x+1)}{x^2}$ Её знак определяется произведением $(x-2)(x+1)$ . Следовательно, функция
возрастает на $(-\infty,-1)$ и $(2,+\infty)$ и убывает на $(-1,0)$ и
$(0,2)$ . Имеются локальный максимум $y(-1)=\frac1e$ и локальный минимум правой ветви $y(2)=4\sqrt e$ Вторая производная имеет вид $y''=e^{\frac1x}\frac{5x+2}{x^4}$ Она меняет знак в точке $x=-\frac25$ . Поэтому точка перегиба имеет
координаты $\left(-\frac25,\frac8{5e^{\frac52}}\right)$ График выпуклый вверх на $(-\infty,-\frac25)$ и выпуклый вниз на
$(-\frac25,0)$ и $(0,+\infty)$ .

Наконец, проверим наклонную асимптоту без использования асимптотических
обозначений. Имеем $(x+2)e^{\frac1x}-(x+3)=x\left(e^{\frac1x}-1\right)+2e^{\frac1x}-3$ При $x\to\pm\infty$ положим $t=\frac1x$ . Тогда $t\to0$ и $x\left(e^{\frac1x}-1\right)=\frac{e^t-1}{t}\longrightarrow1$ а $2e^{\frac1x}-3\to-1$ . Следовательно, $\lim_{x\to\pm\infty}\left((x+2)e^{\frac1x}-(x+3)\right)=0$ и в обоих направлениях имеется наклонная асимптота $y=x+3$ Левая ветвь принимает все значения из $(-\infty,\frac1e]$ , а правая
ветвь — все значения из $[4\sqrt e,+\infty)$ . Поэтому $E=\left(-\infty,\frac1e\right]\cup[4\sqrt e,+\infty)$
2
Построение графика
Наклонная асимптота показана серым пунктиром.
Вертикальная асимптота $x=0$ совпадает с осью $Oy$ , поэтому второй
пунктир поверх оси не проводится. Открытый маркер в начале координат
показывает конечную предельную точку левой ветви. Точкой $I$ обозначена
точка перегиба
$I=\left(-\frac25,\frac8{5e^{\frac52}}\right)$ . $график к задаче Демидовича № 1521$

Проверка

Ответ. Область определения

\mathbb R\setminus\{0\}

. Нуль

(-2,0)

, локальный максимум

(-1,\frac1e)

, локальный минимум

(2,4\sqrt e)

и точка перегиба

(-\frac25,\frac8{5e^{\frac52}})

. Асимптоты:

x=0

y=x+3