Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 12. Построение графиков функций по характерным точкам

Демидович — задача 1521

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Задача 1521

Построить график функцииy=(x+2)e1xy=(x+2)e^{\frac1x}
ПостроениеОбласть определения R∖{0}\mathbb R\setminus\{0\}. Нуль
(−2,0)(-2,0), локальный максимум (−1,1e)(-1,\frac1e), локальный минимум
(2,4e)(2,4\sqrt e) и точка перегиба
(−25,85e52)(-\frac25,\frac8{5e^{\frac52}}). Асимптоты: x=0x=0 и y=x+3y=x+3.

Построение

Область определения функции равнаD=(−∞,0)∪(0,+∞)D=(-\infty,0)\cup(0,+\infty)Поскольку показательная функция положительна, знак yy совпадает со
знаком x+2x+2. Единственный нуль имеет координаты(−2,0)(-2,0)
Одностороннее поведение около исключённой точки различно:lim⁡x→0−(x+2)e1x=0\lim_{x\to0^-}(x+2)e^{\frac1x}=0lim⁡x→0+(x+2)e1x=+∞\lim_{x\to0^+}(x+2)e^{\frac1x}=+\inftyПоэтому x=0x=0 является вертикальной асимптотой по правой стороне, а
точка (0,0)(0,0) --- предельная точка левой ветви, не принадлежащая графику.

Первая производная равнаy′=e1x(1−x+2x2)=e1x(x−2)(x+1)x2y'=e^{\frac1x}\left(1-\frac{x+2}{x^2}\right)
=e^{\frac1x}\frac{(x-2)(x+1)}{x^2}Её знак определяется произведением (x−2)(x+1)(x-2)(x+1). Следовательно, функция
возрастает на (−∞,−1)(-\infty,-1) и (2,+∞)(2,+\infty) и убывает на (−1,0)(-1,0) и
(0,2)(0,2). Имеются локальный максимумy(−1)=1ey(-1)=\frac1eи локальный минимум правой ветвиy(2)=4ey(2)=4\sqrt eВторая производная имеет видy′′=e1x5x+2x4y''=e^{\frac1x}\frac{5x+2}{x^4}Она меняет знак в точке x=−25x=-\frac25. Поэтому точка перегиба имеет
координаты(−25,85e52)\left(-\frac25,\frac8{5e^{\frac52}}\right)График выпуклый вверх на (−∞,−25)(-\infty,-\frac25) и выпуклый вниз на
(−25,0)(-\frac25,0) и (0,+∞)(0,+\infty).

Наконец, проверим наклонную асимптоту без использования асимптотических
обозначений. Имеем(x+2)e1x−(x+3)=x(e1x−1)+2e1x−3(x+2)e^{\frac1x}-(x+3)
=x\left(e^{\frac1x}-1\right)+2e^{\frac1x}-3При x→±∞x\to\pm\infty положим t=1xt=\frac1x. Тогда t→0t\to0 иx(e1x−1)=et−1t⟶1x\left(e^{\frac1x}-1\right)=\frac{e^t-1}{t}\longrightarrow1а 2e1x−3→−12e^{\frac1x}-3\to-1. Следовательно,lim⁡x→±∞((x+2)e1x−(x+3))=0\lim_{x\to\pm\infty}
\left((x+2)e^{\frac1x}-(x+3)\right)=0и в обоих направлениях имеется наклонная асимптотаy=x+3y=x+3Левая ветвь принимает все значения из (−∞,1e](-\infty,\frac1e], а правая
ветвь --- все значения из [4e,+∞)[4\sqrt e,+\infty). ПоэтомуE=(−∞,1e]∪[4e,+∞)E=\left(-\infty,\frac1e\right]\cup[4\sqrt e,+\infty)

Построение графика

Наклонная асимптота показана серым пунктиром.
Вертикальная асимптота x=0x=0 совпадает с осью OyOy, поэтому второй
пунктир поверх оси не проводится. Открытый маркер в начале координат
показывает конечную предельную точку левой ветви. Точкой II обозначена
точка перегиба
I=(−25,85e52)I=\left(-\frac25,\frac8{5e^{\frac52}}\right).график к задаче Демидовича № 1521

Ответ

Область определения R∖{0}\mathbb R\setminus\{0\}. Нуль
(−2,0)(-2,0), локальный максимум (−1,1e)(-1,\frac1e), локальный минимум
(2,4e)(2,4\sqrt e) и точка перегиба
(−25,85e52)(-\frac25,\frac8{5e^{\frac52}}). Асимптоты: x=0x=0 и y=x+3y=x+3.

Проверка

Дифференцируем y′=e1/x(1−x−1−2x−2)y'=e^{1/x}(1-x^{-1}-2x^{-2}):y′′=e1/x[−x−2(1−x−1−2x−2)+x−2+4x−3]=e1/x(5x−3+2x−4).y''=e^{1/x}[-x^{-2}(1-x^{-1}-2x^{-2})+x^{-2}+4x^{-3}]
=e^{1/x}(5x^{-3}+2x^{-4}).Таким образом, числитель 5x+25x+2 получен объединением x−3+4x−3x^{-3}+4x^{-3}. В точке x=−2/5x=-2/5 имеем x+2=8/5x+2=8/5 и 1/x=−5/21/x=-5/2, откуда ордината (8/5)e−5/2(8/5)e^{-5/2}.
Демидович № 1521 — решение и ответ | Высшая математика — Профиматика