Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 12. Построение графиков функций по характерным точкам

Демидович — задача 1522

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Задача 1522

Построить график функцииy=2x2+1−x2−1y=2^{\sqrt{x^2+1}-\sqrt{x^2-1}}
ПостроениеФункция чётная, возрастает на (−∞,−1](-\infty,-1] и убывает
на [1,+∞)[1,+\infty). В точках (±1,22)(\pm1,2^{\sqrt2}) имеются вертикальные
касательные. Горизонтальная асимптота y=1y=1, множество значений
(1,22](1,2^{\sqrt2}].

Построение

Идея

Подкоренное выражение x2−1x^2-1 должно быть неотрицательным. ПоэтомуD=(−∞,−1]∪[1,+∞)D=(-\infty,-1]\cup[1,+\infty)Функция чётная. Обозначим показатель степени черезg(x)=x2+1−x2−1g(x)=\sqrt{x^2+1}-\sqrt{x^2-1}На области определения его удобно рационализовать:g(x)=2x2+1+x2−1>0g(x)=\frac{2}{\sqrt{x^2+1}+\sqrt{x^2-1}}>0Следовательно, y>1y>1 во всех внутренних точках области определения.
При x=±1x=\pm1y(±1)=22y(\pm1)=2^{\sqrt2}а при ∣x∣→∞|x|\to\inftyg(x)→0y→1g(x)\to0
\qquad
y\to1Поэтому y=1y=1 является горизонтальной асимптотой, но значение 11 не
достигается.
  1. 1
    Для ∣x∣>1|x|>1g′(x)=xx2+1−xx2−1g'(x)=\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}-
    \frac{x}{\sqrt{x^2-1}}    иy′=(ln⁡2) 2g(x)g′(x)y'=(\ln2)\,2^{g(x)}g'(x)При x<−1x<-1 производная положительна, а при x>1x>1 отрицательна. Значит,
    левая ветвь возрастает до точки (−1,22)(-1,2^{\sqrt2}), а правая убывает от
    точки (1,22)(1,2^{\sqrt2}). В этих граничных точкахlim⁡x→−1−y′=+∞lim⁡x→1+y′=−∞\lim_{x\to-1^-}y'=+\infty
    \qquad
    \lim_{x\to1^+}y'=-\infty    поэтому касательные вертикальны и имеют уравнения x=−1x=-1 и x=1x=1.

    Кроме того,g′′(x)=1(x2+1)32+1(x2−1)32>0g''(x)=\frac1{(x^2+1)^{\frac32}}+
    \frac1{(x^2-1)^{\frac32}}>0    иy′′=2g(x)((ln⁡2)g′′(x)+(ln⁡2)2(g′(x))2)>0y''=2^{g(x)}\left((\ln2)g''(x)+(\ln2)^2(g'(x))^2\right)>0Обе ветви выпуклы вниз. Множество значений равноE=(1,22]E=(1,2^{\sqrt2}]
  2. 2

    Построение графика

    Две ветви симметричны относительно OyOy. Закрашены
    их конечные точки при x=±1x=\pm1. Короткие пунктирные отрезки показывают
    вертикальные касательные, а горизонтальный пунктир — асимптоту y=1y=1.график к задаче Демидовича № 1522

Проверка

Ответ. Функция чётная, возрастает на (−∞,−1](-\infty,-1] и убывает
на [1,+∞)[1,+\infty). В точках (±1,22)(\pm1,2^{\sqrt2}) имеются вертикальные
касательные. Горизонтальная асимптота y=1y=1, множество значений
(1,22](1,2^{\sqrt2}].
Демидович № 1522 — решение и ответ