Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 12. Построение графиков функций по характерным точкам

Демидович — задача 1524

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Задача 1524

Построить график функцииy=aarcsin⁡xa−a2−x2a>0y=a\arcsin\frac xa-\sqrt{a^2-x^2}
\qquad a>0
ПостроениеОбласть определения [−a,a][-a,a], множество значений
[−aπ2,aπ2][-\frac{a\pi}{2},\frac{a\pi}{2}]. Функция строго возрастает и выпукла
вниз. Единственный нуль
x0=asin⁡u0≈0,673612ax_0=a\sin u_0\approx0{,}673612a, где u0u_0 — единственное решение
уравнения u=cos⁡uu=\cos u на [0,π2][0,\frac\pi2].

Построение

Идея

Из условий существования арксинуса и квадратного корня получаемD=[−a,a]D=[-a,a]Введём безразмерную переменнуюt=xat=\frac xaТогда t∈[−1,1]t\in[-1,1] иy=a(arcsin⁡t−1−t2)y=a\left(\arcsin t-\sqrt{1-t^2}\right)Таким образом, параметр aa масштабирует нормированный график по обеим
осям с коэффициентом aa.
  1. 1
    Внутри области определенияy′=a+xa2−x2=a+xa−x>0y'=\frac{a+x}{\sqrt{a^2-x^2}}
    =\sqrt{\frac{a+x}{a-x}}>0    Следовательно, функция строго возрастает на [−a,a][-a,a]. Её наименьшее и
    наибольшее значения достигаются на концах отрезка:y(−a)=−aπ2y(a)=aπ2y(-a)=-\frac{a\pi}{2}
    \qquad
    y(a)=\frac{a\pi}{2}    При x→−a+x\to-a^+ производная стремится к нулю, поэтому в левом конце
    имеется горизонтальная касательнаяy=−aπ2y=-\frac{a\pi}{2}При x→a−x\to a^- производная стремится к +∞+\infty, поэтому в правом
    конце имеется вертикальная касательнаяx=ax=aВторая производная равнаy′′=a(a+x)(a2−x2)32>0y''=\frac{a(a+x)}{(a^2-x^2)^{\frac32}}>0поэтому график выпуклый вниз на (−a,a)(-a,a) и точек перегиба не имеет.
  2. 2
    Для нахождения нуля положим t=sin⁡ut=\sin u, где
    u∈[−π2,π2]u\in[-\frac\pi2,\frac\pi2]. Уравнение y=0y=0 принимает видu=cos⁡uu=\cos uЕго решение обязательно неотрицательно. На [0,π2][0,\frac\pi2] функция
    u−cos⁡uu-\cos u строго возрастает, поскольку её производная равна
    1+sin⁡u>01+\sin u>0, а значения на концах имеют разные знаки. Поэтому решение
    u0u_0 единственно. Метод половинного деления даётu0≈0,739085sin⁡u0≈0,673612u_0\approx0{,}739085
    \qquad
    \sin u_0\approx0{,}673612    Единственный нуль исходной функции равенx0=asin⁡u0≈0,673612ax_0=a\sin u_0\approx0{,}673612aВ нормированных координатах ему соответствует значениеt0=x0a=sin⁡u0≈0,673612t_0=\frac{x_0}{a}=\sin u_0\approx0{,}673612
  3. 3

    Построение графика

    Строим нормированный график в координатах
    t=xat=\frac xa и Y=yaY=\frac ya. Всем значениям a>0a>0 соответствует одна и та же
    криваяY=arcsin⁡t−1−t2Y=\arcsin t-\sqrt{1-t^2}Обе конечные точки принадлежат графику и отмечены закрашенными маркерами.график к задаче Демидовича № 1524

Проверка

Ответ. Область определения [−a,a][-a,a], множество значений
[−aπ2,aπ2][-\frac{a\pi}{2},\frac{a\pi}{2}]. Функция строго возрастает и выпукла
вниз. Единственный нуль
x0=asin⁡u0≈0,673612ax_0=a\sin u_0\approx0{,}673612a, где u0u_0 — единственное решение
уравнения u=cos⁡uu=\cos u на [0,π2][0,\frac\pi2].
Демидович № 1524 — решение и ответ