Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 12. Построение графиков функций по характерным точкам

Демидович — задача 1539

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Построить кривую, заданную параметрически:

Задача 1539

x=acos⁡3t,y=atg⁡3t,a>0x=\frac{a}{\cos^3t},
\qquad
y=a\operatorname{tg}^3t,
\qquad
a>0
ПостроениеКривая задаётся уравнениемx23−y23=a23\sqrt[3]{x^2}-\sqrt[3]{y^2}=\sqrt[3]{a^2}Она симметрична относительно обеих осей и имеет два острия
(±a,0)(\pm a,0) с общей касательной y=0y=0. Линейных асимптот нет;
неограниченные дуги имеют направления y=±xy=\pm x.

Построение

Параметр не должен обращать cos⁡t\cos t в нуль:t≠π2+πk,k∈Zt\ne\frac\pi2+\pi k,
\qquad
k\in\mathbb ZВведём нормированные координатыX=xa,Y=yaX=\frac xa,
\qquad
Y=\frac yaТогдаX=1cos⁡3t,Y=tg⁡3tX=\frac1{\cos^3t},
\qquad
Y=\operatorname{tg}^3tи тождество
1+tg⁡2t=1cos⁡2t1+\operatorname{tg}^2t=\frac{1}{\cos^2t} даётX23−Y23=1\sqrt[3]{X^2}-\sqrt[3]{Y^2}=1В исходных координатах уравнение принимает видx23−y23=a23\sqrt[3]{x^2}-\sqrt[3]{y^2}=\sqrt[3]{a^2}Отсюда сразу следуют симметрия относительно обеих координатных осей и
ограничениеx∈(−∞,−a]∪[a,+∞)x\in(-\infty,-a]\cup[a,+\infty)При этом yy принимает все действительные значения.
На каждом промежутке допустимых значений параметраx′(t)=3atg⁡tcos⁡3t,y′(t)=3atg⁡2t(1+tg⁡2t)x'(t)=\frac{3a\operatorname{tg}t}{\cos^3t},
\qquad
y'(t)=3a\operatorname{tg}^2t\bigl(1+\operatorname{tg}^2t\bigr)и в регулярных точкахdydx=sin⁡t\frac{dy}{dx}=\sin tПри t=0t=0 обе производные обращаются в нуль. Разложенияx=a+3a2t2+O(t4)x=a+\frac{3a}{2}t^2+O(t^4)y=at3+O(t5)y=at^3+O(t^5)показывают, что точка (a,0)(a,0) является остриём с горизонтальной
касательной y=0y=0. По симметрии точка (−a,0)(-a,0) также является
остриём с той же касательной.
При t→π2−t\to\frac\pi2^- обе координаты стремятся к +∞+\infty, а
угловой коэффициент стремится к 11. Однакоy−x=a(tg⁡3t−cos⁡−3t)⟶−∞y-x=a\bigl(\operatorname{tg}^3t-\cos^{-3}t\bigr)
\longrightarrow-\inftyпоэтому прямая вида y=x+by=x+b не является асимптотой. По симметрии
ни одна из остальных неограниченных дуг также не имеет линейной
асимптоты; прямые y=±xy=\pm x задают лишь их асимптотические
направления.

Построение графика

В нормированных координатах получаются две
неограниченные ветви. Правая ветвь имеет остриё (1,0)(1,0), левая ---
(−1,0)(-1,0). Из каждого острия выходят две дуги, симметричные относительно
OxOx. график к задаче Демидовича № 1539

Ответ

Кривая задаётся уравнениемx23−y23=a23\sqrt[3]{x^2}-\sqrt[3]{y^2}=\sqrt[3]{a^2}Она симметрична относительно обеих осей и имеет два острия
(±a,0)(\pm a,0) с общей касательной y=0y=0. Линейных асимптот нет;
неограниченные дуги имеют направления y=±xy=\pm x.

Проверка

Уравнение не создаёт лишних точек. По заданному YY выбираем tan⁡t=Y3\tan t=\sqrt[3]Y и знак cos⁡t\cos t, совпадающий со знаком XX. Тождество cos⁡−2t=1+∣Y∣2/3=∣X∣2/3\cos^{-2}t=1+|Y|^{2/3}=|X|^{2/3} затем даёт cos⁡−3t=X\cos^{-3}t=X.

Для наклона в регулярной точке делим 3atan⁡2t/cos⁡2t3a\tan^2t/\cos^2t на 3atan⁡t/cos⁡3t3a\tan t/\cos^3t и получаем tan⁡tcos⁡t=sin⁡t\tan t\cos t=\sin t. Вблизи нуля cos⁡t=1−t2/2+O(t4)\cos t=1-t^2/2+O(t^4), откуда (cos⁡t)−3=1+3t2/2+O(t4)(\cos t)^{-3}=1+3t^2/2+O(t^4) по формуле Тейлора для (1+v)−3(1+v)^{-3}. Также tan⁡t=t+O(t3)\tan t=t+O(t^3), поэтому tan⁡3t=t3+O(t5)\tan^3t=t^3+O(t^5). Наклон секущей y/(x−a)∼(2/3)t→0y/(x-a)\sim(2/3)t\to0, что обосновывает касательную в острие.

Для отсутствия асимптоты в первой четверти положим u=tan⁡t→+∞u=\tan t\to+\infty. Тогда y=au3y=au^3, x=a(1+u2)3/2x=a(1+u^2)^{3/2}. Теорема Лагранжа для v3/2v^{3/2} на [u2,u2+1][u^2,u^2+1] даётx−y=3a2ξ,u2<ξ<u2+1.x-y=\frac{3a}{2}\sqrt{\xi},\qquad u^2<\xi<u^2+1.Следовательно, x−y⩾3au/2→+∞x-y\geqslant3au/2\to+\infty. При этом y/x=(1+u−2)−3/2→1y/x=(1+u^{-2})^{-3/2}\to1, так что иного возможного наклона прямой асимптоты нет. Другие дуги получаются отражениями.
Демидович № 1539 — решение и ответ | Высшая математика — Профиматика