Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 12. Построение графиков функций по характерным точкам

Демидович — задача 1539

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Построить кривую, заданную параметрически:

Задача 1539

x=acos⁡3t,y=atg⁡3t,a>0x=\frac{a}{\cos^3t},
\qquad
y=a\operatorname{tg}^3t,
\qquad
a>0
ПостроениеКривая задаётся уравнениемx23−y23=a23\sqrt[3]{x^2}-\sqrt[3]{y^2}=\sqrt[3]{a^2}Она симметрична относительно обеих осей и имеет два острия
(±a,0)(\pm a,0) с общей касательной y=0y=0. Линейных асимптот нет;
неограниченные дуги имеют направления y=±xy=\pm x.

Построение

Идея

Параметр не должен обращать cos⁡t\cos t в нуль:t≠π2+πk,k∈Zt\ne\frac\pi2+\pi k,
\qquad
k\in\mathbb ZВведём нормированные координатыX=xa,Y=yaX=\frac xa,
\qquad
Y=\frac yaТогдаX=1cos⁡3t,Y=tg⁡3tX=\frac1{\cos^3t},
\qquad
Y=\operatorname{tg}^3tи тождество
1+tg⁡2t=1cos⁡2t1+\operatorname{tg}^2t=\frac{1}{\cos^2t} даётX23−Y23=1\sqrt[3]{X^2}-\sqrt[3]{Y^2}=1В исходных координатах уравнение принимает видx23−y23=a23\sqrt[3]{x^2}-\sqrt[3]{y^2}=\sqrt[3]{a^2}Отсюда сразу следуют симметрия относительно обеих координатных осей и
ограничениеx∈(−∞,−a]∪[a,+∞)x\in(-\infty,-a]\cup[a,+\infty)При этом yy принимает все действительные значения.
На каждом промежутке допустимых значений параметраx′(t)=3atg⁡tcos⁡3t,y′(t)=3atg⁡2t(1+tg⁡2t)x'(t)=\frac{3a\operatorname{tg}t}{\cos^3t},
\qquad
y'(t)=3a\operatorname{tg}^2t\bigl(1+\operatorname{tg}^2t\bigr)и в регулярных точкахdydx=sin⁡t\frac{dy}{dx}=\sin tПри t=0t=0 обе производные обращаются в нуль. Разложенияx=a+3a2t2+O(t4)x=a+\frac{3a}{2}t^2+O(t^4)y=at3+O(t5)y=at^3+O(t^5)показывают, что точка (a,0)(a,0) является остриём с горизонтальной
касательной y=0y=0. По симметрии точка (−a,0)(-a,0) также является
остриём с той же касательной.
При t→π2−t\to\frac\pi2^- обе координаты стремятся к +∞+\infty, а
угловой коэффициент стремится к 11. Однакоy−x=a(tg⁡3t−cos⁡−3t)⟶−∞y-x=a\bigl(\operatorname{tg}^3t-\cos^{-3}t\bigr)
\longrightarrow-\inftyпоэтому прямая вида y=x+by=x+b не является асимптотой. По симметрии
ни одна из остальных неограниченных дуг также не имеет линейной
асимптоты; прямые y=±xy=\pm x задают лишь их асимптотические
направления.
  1. 1

    Построение графика

    В нормированных координатах получаются две
    неограниченные ветви. Правая ветвь имеет остриё (1,0)(1,0), левая —
    (−1,0)(-1,0). Из каждого острия выходят две дуги, симметричные относительно
    OxOx. Все четыре неограниченные дуги продолжаются до границы окна и
    естественно обрезаются ею.график к задаче Демидовича № 1539

Проверка

Ответ. Кривая задаётся уравнениемx23−y23=a23\sqrt[3]{x^2}-\sqrt[3]{y^2}=\sqrt[3]{a^2}Она симметрична относительно обеих осей и имеет два острия
(±a,0)(\pm a,0) с общей касательной y=0y=0. Линейных асимптот нет;
неограниченные дуги имеют направления y=±xy=\pm x.
Демидович № 1539 — решение и ответ