Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 12. Построение графиков функций по характерным точкам

Демидович — задача 1554

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Построить графики семейства кривых

Задача 1554

y=\frac{x}{2}+e^{-ax}

где

a

— переменный параметр.

ПостроениеВсе кривые проходят через

(0,1)

и лежат выше прямой

y=\frac{x}{2}

. При

a>0

график имеет правую наклонную асимптоту

y=\frac{x}{2}

, а минимум достигается в точке

M_a\left(\frac{\ln(2a)}{a},\frac{1+\ln(2a)}{2a}\right)

При

0<a<\frac1{2e}

график дважды пересекает ось

Ox

; при

a=\frac1{2e}

касается её в точке

(-2e,0)

; при

a>\frac1{2e}

пересечений с осью

Ox

нет. При

a=0

получается прямая

y=\frac{x}{2}+1

, пересекающая ось

Ox

в точке

(-2,0)

. При

a<0

функция строго возрастает, имеет левую наклонную асимптоту

y=\frac{x}{2}

и ровно один отрицательный корень.

Построение

Идея

При любом фиксированном

a\in\mathbb R

функция определена на всей
числовой прямой. Все кривые семейства проходят через общую точку

A(0,1)

и лежат строго выше прямой

y=\frac{x}{2}

, поскольку

y-\frac{x}{2}=e^{-ax}>0

Найдём производные:

y'=\frac12-ae^{-ax}\qquady''=a^2e^{-ax}

Если

a\ne0

, то

y''>0

при всех

x

. Следовательно, функция строго
выпукла: график лежит выше каждой своей касательной, совпадая с ней
только в точке касания.

1
Случай $a>0$ .
При $x\to-\infty$ экспоненциальное слагаемое неограниченно возрастает, а
при $x\to+\infty$ стремится к нулю. Следовательно, $\lim_{x\to-\infty}y=+\infty\qquady-\frac{x}{2}\longrightarrow0\quad (x\to+\infty)$ Прямая $y=\frac{x}{2}$ является правой наклонной асимптотой.
2
Уравнение $y'=0$ имеет единственное решение $ae^{-ax}=\frac12\qquadx_a=\frac{\ln(2a)}{a}$ Поэтому функция убывает при $x<x_a$ , возрастает при $x>x_a$ и имеет
единственный минимум $M_a\left(\frac{\ln(2a)}{a},\frac{1+\ln(2a)}{2a}\right)$ По знаку минимального значения получаем: $\begin{alignedat}{2}0<a<\dfrac1{2e},&\qquad&& \text{две точки пересечения с } Ox\\[10pt]a=\dfrac1{2e},&&& \text{касание } Ox \text{ в точке } (-2e,0)\\[10pt]a>\dfrac1{2e},&&& \text{пересечений с } Ox \text{ нет}\end{alignedat}$ Случай $a=0$ .
Экспоненциальное слагаемое равно единице, поэтому получается прямая $y=\frac{x}{2}+1$ Случай $a<0$ .
В этом случае $y'=\frac12-ae^{-ax}>0$ поэтому функция строго возрастает на всей числовой прямой. Кроме того, $y-\frac{x}{2}\longrightarrow0\quad (x\to-\infty)\qquad\lim_{x\to+\infty}y=+\infty$ Таким образом, прямая $y=\frac{x}{2}$ служит левой наклонной
асимптотой. Поскольку функция возрастает от $-\infty$ до $+\infty$ , она
пересекает ось $Ox$ ровно один раз; эта точка лежит при $x<0$ .
3
Построение графика
На рисунке показаны характерные представители всех
трёх случаев: $a=-1$ , $a=0$ , $a=\frac1{2e}$ и $a=\frac12$ . Тонкая
пунктирная прямая $y=\frac{x}{2}$ является односторонней асимптотой при
$a\ne0$ . Все четыре кривые проходят через точку $A(0,1)$ ; при
$a=\frac1{2e}$ график касается оси $Ox$ в точке $(-2e,0)$ . $график к задаче Демидовича № 1554$

Проверка

Ответ. Все кривые проходят через

(0,1)

и лежат выше прямой

y=\frac{x}{2}

. При

a>0

график имеет правую наклонную асимптоту

y=\frac{x}{2}

, а минимум достигается в точке

M_a\left(\frac{\ln(2a)}{a},\frac{1+\ln(2a)}{2a}\right)

При

0<a<\frac1{2e}

график дважды пересекает ось

Ox

; при

a=\frac1{2e}

касается её в точке

(-2e,0)

; при

a>\frac1{2e}

пересечений с осью

Ox

нет. При

a=0

получается прямая

y=\frac{x}{2}+1

, пересекающая ось

Ox

в точке

(-2,0)

. При

a<0

функция строго возрастает, имеет левую наклонную асимптоту

y=\frac{x}{2}

и ровно один отрицательный корень.