Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 12. Построение графиков функций по характерным точкам

Демидович — задача 1554

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Построить графики семейства кривых

Задача 1554

y=x2+e−axy=\frac{x}{2}+e^{-ax}где aa — переменный параметр.
ПостроениеВсе кривые проходят через (0,1)(0,1) и лежат выше прямой
y=x2y=\frac{x}{2}. При a>0a>0 график имеет правую наклонную асимптоту
y=x2y=\frac{x}{2}, а минимум достигается в точкеMa(ln⁡(2a)a,1+ln⁡(2a)2a)M_a\left(
\frac{\ln(2a)}{a},
\frac{1+\ln(2a)}{2a}
\right)При 0<a<12e0<a<\frac1{2e} график дважды пересекает ось OxOx; при
a=12ea=\frac1{2e} касается её в точке (−2e,0)(-2e,0); при a>12ea>\frac1{2e}
пересечений с осью OxOx нет. При a=0a=0 получается прямая
y=x2+1y=\frac{x}{2}+1, пересекающая ось OxOx в точке (−2,0)(-2,0). При a<0a<0
функция строго возрастает, имеет левую наклонную асимптоту
y=x2y=\frac{x}{2} и ровно один отрицательный корень.

Построение

При любом фиксированном a∈Ra\in\mathbb R функция определена на всей
числовой прямой. Все кривые семейства проходят через общую точкуA(0,1)A(0,1)и лежат строго выше прямой y=x2y=\frac{x}{2}, посколькуy−x2=e−ax>0y-\frac{x}{2}=e^{-ax}>0Найдём производные:y′=12−ae−axy′′=a2e−axy'=\frac12-ae^{-ax}
\qquad
y''=a^2e^{-ax}Если a≠0a\ne0, то y′′>0y''>0 при всех xx. Следовательно, функция строго
выпукла: график лежит выше каждой своей касательной, совпадая с ней
только в точке касания.
Случай a>0a>0.
При x→−∞x\to-\infty экспоненциальное слагаемое неограниченно возрастает, а
при x→+∞x\to+\infty стремится к нулю. Следовательно,lim⁡x→−∞y=+∞y−x2⟶0(x→+∞)\lim_{x\to-\infty}y=+\infty
\qquad
y-\frac{x}{2}\longrightarrow0
\quad (x\to+\infty)Прямая y=x2y=\frac{x}{2} является правой наклонной асимптотой.
Уравнение y′=0y'=0 имеет единственное решениеae−ax=12xa=ln⁡(2a)aae^{-ax}=\frac12
\qquad
x_a=\frac{\ln(2a)}{a}Поэтому функция убывает при x<xax<x_a, возрастает при x>xax>x_a и имеет
единственный минимумMa(ln⁡(2a)a,1+ln⁡(2a)2a)M_a\left(
\frac{\ln(2a)}{a},
\frac{1+\ln(2a)}{2a}
\right)По знаку минимального значения получаем:0<a<12e,две точки пересечения с Oxa=12e,касание Ox в точке (−2e,0)a>12e,пересечений с Ox нет\begin{alignedat}{2}
0<a<\dfrac1{2e},
&\qquad&& \text{две точки пересечения с } Ox
\\[10pt]
a=\dfrac1{2e},
&&& \text{касание } Ox \text{ в точке } (-2e,0)
\\[10pt]
a>\dfrac1{2e},
&&& \text{пересечений с } Ox \text{ нет}
\end{alignedat}Случай a=0a=0.
Экспоненциальное слагаемое равно единице, поэтому получается прямаяy=x2+1y=\frac{x}{2}+1Случай a<0a<0.
В этом случаеy′=12−ae−ax>0y'=\frac12-ae^{-ax}>0поэтому функция строго возрастает на всей числовой прямой. Кроме того,y−x2⟶0(x→−∞)lim⁡x→+∞y=+∞y-\frac{x}{2}\longrightarrow0
\quad (x\to-\infty)
\qquad
\lim_{x\to+\infty}y=+\inftyТаким образом, прямая y=x2y=\frac{x}{2} служит левой наклонной
асимптотой. Поскольку функция возрастает от −∞-\infty до +∞+\infty, она
пересекает ось OxOx ровно один раз; эта точка лежит при x<0x<0.

Построение графика

На рисунке показаны характерные представители всех
трёх случаев: a=−1a=-1, a=0a=0, a=12ea=\frac1{2e} и a=12a=\frac12. Тонкая
пунктирная прямая y=x2y=\frac{x}{2} является односторонней асимптотой при
a≠0a\ne0. Все четыре кривые проходят через точку A(0,1)A(0,1); при
a=12ea=\frac1{2e} график касается оси OxOx в точке (−2e,0)(-2e,0).график к задаче Демидовича № 1554

Ответ

Все кривые проходят через (0,1)(0,1) и лежат выше прямой
y=x2y=\frac{x}{2}. При a>0a>0 график имеет правую наклонную асимптоту
y=x2y=\frac{x}{2}, а минимум достигается в точкеMa(ln⁡(2a)a,1+ln⁡(2a)2a)M_a\left(
\frac{\ln(2a)}{a},
\frac{1+\ln(2a)}{2a}
\right)При 0<a<12e0<a<\frac1{2e} график дважды пересекает ось OxOx; при
a=12ea=\frac1{2e} касается её в точке (−2e,0)(-2e,0); при a>12ea>\frac1{2e}
пересечений с осью OxOx нет. При a=0a=0 получается прямая
y=x2+1y=\frac{x}{2}+1, пересекающая ось OxOx в точке (−2,0)(-2,0). При a<0a<0
функция строго возрастает, имеет левую наклонную асимптоту
y=x2y=\frac{x}{2} и ровно один отрицательный корень.

Проверка

Из ae−axa=1/2ae^{-ax_a}=1/2 при a>0a>0 получаем e−axa=1/(2a)e^{-ax_a}=1/(2a) и −axa=−ln⁡(2a)-ax_a=-\ln(2a). Поэтомуy(xa)=ln⁡(2a)2a+12a=1+ln⁡(2a)2a.y(x_a)=\frac{\ln(2a)}{2a}+\frac1{2a}=\frac{1+\ln(2a)}{2a}.Минимум равен нулю тогда и только тогда, когда ln⁡(2a)=−1\ln(2a)=-1, то есть a=1/(2e)a=1/(2e). При этом xa=−1/a=−2ex_a=-1/a=-2e. На обоих концах оси при a>0a>0 функция стремится к +∞+\infty, поэтому отрицательный минимум даёт ровно два нуля по непрерывности и строгой монотонности по его сторонам; нулевой минимум — касание; положительный — отсутствие нулей.
Демидович № 1554 — решение и ответ | Высшая математика — Профиматика