Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 12. Построение графиков функций по характерным точкам

Демидович — задача 1525

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Задача 1525

Построить график функцииy=arccos⁡1−x1−2xy=\arccos\frac{1-x}{1-2x}
ПостроениеОбласть определения
(−∞,0]∪[23,+∞)(-\infty,0]\cup[\frac23,+\infty), множество значений
[0,π3)∪(π3,π][0,\frac\pi3)\cup(\frac\pi3,\pi]. Обе ветви строго убывают.
Вертикальные касательные: x=0x=0 и x=23x=\frac23; горизонтальная асимптота
y=π3y=\frac\pi3.

Построение

Идея

Сначала исключим нуль знаменателя:x≠12x\ne\frac12При этом условии существования арккосинуса равносильно неравенству(1−x)2(1−2x)2⩽1\frac{(1-x)^2}{(1-2x)^2}\leqslant1Умножая его на положительное число (1−2x)2(1-2x)^2, получаем(1−x)2⩽(1−2x)2(1-x)^2\leqslant(1-2x)^2Перенося всё в правую часть, получаемx(3x−2)⩾0x(3x-2)\geqslant0Следовательно,D=(−∞,0]∪[23,+∞)D=(-\infty,0]\cup\left[\frac23,+\infty\right)
  1. 1
    Обозначимu(x)=1−x1−2xu(x)=\frac{1-x}{1-2x}Тогдаu′(x)=1(1−2x)2>0u'(x)=\frac1{(1-2x)^2}>0а главная ветвь арккосинуса строго убывает. Поэтому исходная функция
    строго убывает на каждой связной компоненте своей области определения.
    Во внутренних точкахy′=−u′(x)1−u(x)2<0y'=-\frac{u'(x)}{\sqrt{1-u(x)^2}}<0На концах компонентy(0)=0y ⁣(23)=πy(0)=0
    \qquad
    y\!\left(\frac23\right)=\pi    При приближении к этим точкам из области определения модуль производной
    неограниченно возрастает. Поэтому в точках (0,0)(0,0) и
    (23,π)(\frac23,\pi) имеются вертикальные касательныеx=0x=23x=0
    \qquad
    x=\frac23    На обеих бесконечностяхlim⁡x→±∞1−x1−2x=12\lim_{x\to\pm\infty}\frac{1-x}{1-2x}=\frac12поэтомуlim⁡x→±∞y=arccos⁡12=π3\lim_{x\to\pm\infty}y=\arccos\frac12=\frac\pi3Прямая y=π3y=\frac\pi3 является горизонтальной асимптотой. Значение
    π3\frac\pi3 не достигается: равенство1−x1−2x=12\frac{1-x}{1-2x}=\frac12привело бы к противоречию 2=12=1.

    На левой компоненте значения изменяются от π3\frac\pi3 до 00, причём
    асимптотическое значение не достигается. На правой компоненте значения
    изменяются от π\pi до π3\frac\pi3, также без достижения последнего.
    ПоэтомуE=[0,π3)∪(π3,π]E=\left[0,\frac\pi3\right)\cup
    \left(\frac\pi3,\pi\right]
  2. 2
    Для уточнения формы графика продифференцируем ещё раз. Положимq=x(3x−2)>0q=x(3x-2)>0во внутренних точках области определения. Тогдаy′′=−12x2−9x+1(1−2x)2q32<0,x<0y''=-\frac{12x^2-9x+1}
    {(1-2x)^2q^{\frac32}}<0,
    \qquad x<0    иy′′=12x2−9x+1(2x−1)2q32>0,x>23y''=\frac{12x^2-9x+1}
    {(2x-1)^2q^{\frac32}}>0,
    \qquad x>\frac23    Действительно, числитель положителен на обеих указанных компонентах.
    Следовательно, левая ветвь выпукла вверх, а правая — вниз. Поскольку
    компоненты разделены промежутком, не входящим в область определения,
    точек перегиба нет.
  3. 3

    Построение графика

    В области определения имеются две ветви. Они разделены
    промежутком (0,23)(0,\frac23). Горизонтальный пунктир показывает асимптоту
    y=π3y=\frac\pi3. Вертикальная
    касательная в точке (0,0)(0,0) совпадает с осью OyOy, поэтому отдельно не
    дублируется; касательная при x=23x=\frac23 показана коротким пунктиром.график к задаче Демидовича № 1525

Проверка

Ответ. Область определения
(−∞,0]∪[23,+∞)(-\infty,0]\cup[\frac23,+\infty), множество значений
[0,π3)∪(π3,π][0,\frac\pi3)\cup(\frac\pi3,\pi]. Обе ветви строго убывают.
Вертикальные касательные: x=0x=0 и x=23x=\frac23; горизонтальная асимптота
y=π3y=\frac\pi3.
Демидович № 1525 — решение и ответ