Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 12. Построение графиков функций по характерным точкам

Демидович — задача 1526

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Задача 1526

Построить график функцииy=xxy=x^x
ПостроениеОбласть определения равна (0,+∞)(0,+\infty). Функция
убывает на (0,e−1](0,e^{-1}], возрастает на [e−1,+∞)[e^{-1},+\infty) и
имеет минимумymin⁡=e−1ey_{\min}=e^{-\frac1e}Множество значений: [e−1e,+∞)[e^{-\frac1e},+\infty). Точек перегиба и асимптот
нет.

Построение

Для действительных значений рассматриваем стандартное определениеxx=exln⁡xx^x=e^{x\ln x}поэтому область определения равнаD=(0,+∞)D=(0,+\infty)На границе области определенияlim⁡x→0+xx=exp⁡ ⁣(lim⁡x→0+xln⁡x)=1\lim_{x\to0^+}x^x
=\exp\!\left(\lim_{x\to0^+}x\ln x\right)=1Точка (0,1)(0,1) предельная, но графику исходной функции не принадлежит.
При x→+∞x\to+\infty имеем xln⁡x→+∞x\ln x\to+\infty, следовательно,lim⁡x→+∞xx=+∞\lim_{x\to+\infty}x^x=+\inftyНайдём производную:y′=xx(ln⁡x+1)y'=x^x(\ln x+1)Она обращается в нуль только приx=e−1x=e^{-1}Поэтому функция убывает на (0,e−1](0,e^{-1}], возрастает на
[e−1,+∞)[e^{-1},+\infty) и достигает глобального минимумаy(e−1)=e−1ey(e^{-1})=e^{-\frac1e}Кроме того,lim⁡x→0+y′=−∞\lim_{x\to0^+}y'=-\inftyпоэтому при приближении к предельной точке (0,1)(0,1) наклон кривой
становится вертикальным. Поскольку сама точка не входит в область
определения, касательной к графику в ней нет.
Вторая производная равнаy′′=xx((ln⁡x+1)2+1x)>0y''=x^x\left((\ln x+1)^2+\frac1x\right)>0Значит, график выпуклый вниз на всей области определения и точек
перегиба нет. Множество значений имеет видE=[e−1e,+∞)E=[e^{-\frac1e},+\infty)

Построение графика

Отмечаем выколотую предельную точку (0,1)(0,1),
минимум (e−1,e−1e)(e^{-1},e^{-\frac1e}) и точку (1,1)(1,1). После минимума
кривая быстро возрастает.график к задаче Демидовича № 1526

Ответ

Область определения равна (0,+∞)(0,+\infty). Функция
убывает на (0,e−1](0,e^{-1}], возрастает на [e−1,+∞)[e^{-1},+\infty) и
имеет минимумymin⁡=e−1ey_{\min}=e^{-\frac1e}Множество значений: [e−1e,+∞)[e^{-\frac1e},+\infty). Точек перегиба и асимптот
нет.

Проверка

Минимальная ордината: (e−1)e−1=exp⁡(e−1ln⁡e−1)=e−1/e(e^{-1})^{e^{-1}}=\exp(e^{-1}\ln e^{-1})=e^{-1/e}. Вторая производная получается из y′=y(ln⁡x+1)y'=y(\ln x+1): y′′=y′(ln⁡x+1)+y/xy''=y'(\ln x+1)+y/x. При x→+∞x\to+\infty отношение y/x=xx−1→+∞y/x=x^{x-1}\to+\infty, поэтому прямой асимптоты нет; у 00 функция имеет конечный предел, а не вертикальную асимптоту.
Демидович № 1526 — решение и ответ | Высшая математика — Профиматика