Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 12. Построение графиков функций по характерным точкам

Демидович — задача 1531

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Построить кривую, заданную параметрически:

x=\frac{(t+1)^2}{4},\qquady=\frac{(t-1)^2}{4}

ПостроениеКривая является параболой

2(x+y)=(x-y)^2+1

Её вершина равна

\left(\frac14,\frac14\right)

, ось симметрии
имеет уравнение

y=x

. В точке

(0,1)

касательная вертикальна,
а в точке

(1,0)

горизонтальна.

Построение

Идея

Параметр принимает все действительные значения. Вычитая и складывая
координаты, получаем

x-y=t

x+y=\frac{t^2+1}{2}

Поэтому параметр исключается однозначно, а уравнение кривой имеет вид

2(x+y)=(x-y)^2+1

Это парабола. Если ввести координаты

u=x-y,\qquadv=x+y

то её уравнение принимает вид

v=\frac{u^2+1}{2}

Ось параболы задаётся прямой

u=0

, то есть

y=x

, а вершина
соответствует

u=0

v=\frac12

A\left(\frac14,\frac14\right)

Обе координаты неотрицательны при всех

t

. Пересечения с осями:

\begin{aligned}t=-1&:\quad (x,y)=(0,1)\\t=1&:\quad (x,y)=(1,0)\end{aligned}

Производные координат равны

x'(t)=\frac{t+1}{2},\qquady'(t)=\frac{t-1}{2}

При

t\ne-1

\frac{dy}{dx}=\frac{t-1}{t+1}

В точке

(0,1)

, соответствующей

t=-1

, касательная вертикальна;
в точке

(1,0)

, соответствующей

t=1

, касательная горизонтальна.
В вершине

t=0

, поэтому угловой коэффициент касательной равен

-1

, что согласуется с перпендикулярностью касательной оси

y=x

Проверка

Ответ. Кривая является параболой

2(x+y)=(x-y)^2+1

Её вершина равна

\left(\frac14,\frac14\right)

, ось симметрии
имеет уравнение

y=x

. В точке

(0,1)

касательная вертикальна,
а в точке

(1,0)

горизонтальна.