Раздел I. Введение в анализ — § 8. Обратная функция. Функции, заданные параметрически

Демидович — задача 762

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Показать, что уравнение

\operatorname{ctg} x=kx

для каждого вещественного

k

(-\infty<k<+\infty)

имеет в интервале

0<x<\pi

единственный непрерывный корень

x=x(k)

Доказательство

Положим

K(x)=\operatorname{ctg}x/x

при

0<x<\pi

. Эта функция непрерывна. Докажем её строгое убывание без дифференцирования.

На

(0,\pi/2)

оба положительных множителя

\operatorname{ctg}x

1/x

строго убывают, поэтому их произведение также строго убывает. При

x=\pi/2

оно равно нулю, а при

x>\pi/2

отрицательно.

Остаётся сравнить два аргумента

\pi/2<x_1<x_2<\pi

. Обозначим

h=x_2-x_1

v=\pi-x_1

. Тогда

0<h<v<\pi/2

, и

K(x_1)-K(x_2)=\frac{N}{x_1x_2\sin x_1\sin x_2},

где знаменатель положителен, а числитель преобразуем по формуле синуса разности:

\displaystyle N\mathrel{=}

Из геометрического неравенства

h<\tan h

следует

\sin h>h\cos h

. Кроме того,

0<\cos v<\cos h

0<\sin(v-h)\leqslant1

. Следовательно,

N>x_1h\cos h-h\cos h=h\cos h(x_1-1)>0,

поскольку

x_1>\pi/2>1

. Итак,

K

строго убывает на всём

(0,\pi)

.

На концах интервала имеем

K(x)=\frac{\cos x}{x\sin x}\longrightarrow+\infty\quad(x\to0+),

поскольку числитель стремится к

1

, а положительный знаменатель — к нулю. При

x\to\pi-

числитель стремится к

-1

, а знаменатель — к

0+

, поэтому

K(x)\to-\infty

.

По непрерывности и теореме о промежуточных значениях для каждого

k\in\mathbb R

существует

x\in(0,\pi)

K(x)=k

. Строгое убывание гарантирует единственность. Обратная к непрерывной строго монотонной функции функция

x=K^{-1}(k)

непрерывна по теореме этого параграфа.

Что и требовалось доказать