Демидович — задача 762

1. 1
   Пусть $0<x_1<x_2<\pi$. Тогда$$K(x_1)-K(x_2)$$
   =
   \frac{x_2\cos x_1\sin x_2-x_1\cos x_2\sin x_1}
   {x_1x_2\sin x_1\sin x_2}.Знаменатель положителен. Для числителя по формулам произведения синуса и косинуса имеем$$\begin{aligned}$$
   &x_2\cos x_1\sin x_2-x_1\cos x_2\sin x_1\\
   &\quad=
   \frac12\left[(x_2-x_1)\sin(x_1+x_2)
   +(x_1+x_2)\sin(x_2-x_1)\right].
   \end{aligned}Если $x_1+x_2\le\pi$, оба слагаемых неотрицательны, а второе положительно.
   
   Пусть $x_1+x_2>\pi$. Обозначим $u=2\pi-x_1-x_2$ и $v=x_2-x_1$. Тогда $0<v<u<\pi$. Из убывания функции $\frac{\sin t}{t}$ на $(0,\pi)$ получаем$$\frac{\sin v}{v}>\frac{\sin u}{u}.$$Поскольку $x_1+x_2>u$,$$(x_1+x_2)\sin v>v\sin u.$$Но $\sin(x_1+x_2)=-\sin u$, поэтому числитель снова положителен. Значит, $K(x_1)>K(x_2)$.
2. 2
   Далее$$K(x)\to+\infty\quad(x\to0+0),$$
   \qquad
   K(x)\to-\infty\quad(x\to\pi-0).Таким образом, $K$ непрерывна, строго убывает и принимает все действительные значения. Для каждого $k\in\mathbb R$ существует единственное $x\in(0,\pi)$, для которого $K(x)=k$.

Что и требовалось доказать