Раздел I. Введение в анализ — § 8. Обратная функция. Функции, заданные параметрически

Демидович — задача 765

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Показать, что обратная функция разрывной функции

y=(1+x^2)\operatorname{sgn}x

есть функция непрерывная.

Доказательство

Идея

Исходная функция имеет вид

f(x)=\begin{cases}-(1+x^2),&x<0,\\0,&x=0,\\1+x^2,&x>0.\end{cases}

Она взаимно однозначна, а ее множество значений равно

Y=(-\infty,-1)\cup\{0\}\cup(1,+\infty).

Найдем обратную функцию. При

y<-1

имеем

y=-(1+x^2)

x<0

, поэтому

x=-\sqrt{-y-1}

. При

y>1

имеем

x=\sqrt{y-1}

, а значению

y=0

соответствует

x=0

. Следовательно,

f^{-1}(y)=\begin{cases}-\sqrt{-y-1},&y<-1,\\0,&y=0,\\\sqrt{y-1},&y>1.\end{cases}

На интервалах

(-\infty,-1)

(1,+\infty)

обе ветви непрерывны. Точка

y=0

изолирована в области определения обратной функции: существует ее окрестность, в которой из

Y

содержится только сама точка

0

. Поэтому условие непрерывности в ней выполняется автоматически.

Проверка

Таким образом,

\boxed{f^{-1}\text{ непрерывна на всей своей области определения}.}

Что и требовалось доказать