Раздел I. Введение в анализ — § 8. Обратная функция. Функции, заданные параметрически

Демидович — задача 779

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Задача 779

Построить графики функций:а) y=arcsin⁡x+arcsin⁡1−x2\text{а) }y=\arcsin x+\arcsin\sqrt{1-x^2}б) y=arcsin⁡(2x1−x2)−2arcsin⁡x\text{б) }y=\arcsin\left(2x\sqrt{1-x^2}\right)-2\arcsin x
Построениеy={−π−4arcsin⁡x,−1⩽x<−12,0,−12⩽x⩽12,π−4arcsin⁡x,12<x⩽1y=
\begin{cases}
-\pi-4\arcsin x,
& -1\leqslant x< -\dfrac1{\sqrt2},\\[2mm]
0,
& -\dfrac1{\sqrt2}\leqslant x\leqslant\dfrac1{\sqrt2},\\[2mm]
\pi-4\arcsin x,
& \dfrac1{\sqrt2}<x\leqslant1
\end{cases}

Построение

  1. 1

    Пункт а)

    Из условия −1⩽x⩽1-1\leqslant x\leqslant1 следует
    0⩽1−x2⩽10\leqslant\sqrt{1-x^2}\leqslant1, поэтому оба арксинуса определены и
    область определения равна [−1,1][-1,1].
    Введёмα=arcsin⁡x,−π2⩽α⩽π2\alpha=\arcsin x,
    \qquad
    -\frac\pi2\leqslant\alpha\leqslant\frac\pi2    Тогда x=sin⁡αx=\sin\alpha и1−x2=1−sin⁡2α=cos⁡α\sqrt{1-x^2}=\sqrt{1-\sin^2\alpha}=\cos\alphaпоскольку на выбранном промежутке cos⁡α⩾0\cos\alpha\geqslant0. При
    α⩽0\alpha\leqslant0 число π2+α\frac\pi2+\alpha принадлежит
    [0,π2]\left[0,\frac\pi2\right], а при α⩾0\alpha\geqslant0 число
    π2−α\frac\pi2-\alpha принадлежит тому же промежутку. Поэтомуarcsin⁡(cos⁡α)={π2+α,−π2⩽α<0,π2−α,0⩽α⩽π2\arcsin(\cos\alpha)=
    \begin{cases}
    \dfrac\pi2+\alpha, & -\dfrac\pi2\leqslant\alpha<0,\\[2mm]
    \dfrac\pi2-\alpha, & 0\leqslant\alpha\leqslant\dfrac\pi2
    \end{cases}    и исходная функция принимает видy={π2+2arcsin⁡x,−1⩽x<0,π2,0⩽x⩽1y=
    \begin{cases}
    \dfrac\pi2+2\arcsin x, & -1\leqslant x<0,\\[2mm]
    \dfrac\pi2, & 0\leqslant x\leqslant1
    \end{cases}    На отрезке [−1,0][-1,0] первая ветвь возрастает от −π2-\frac\pi2 до
    π2\frac\pi2, а на [0,1][0,1] функция постоянна.
  2. 2

    Построение графика

    Изображаем возрастающую ветвь
    y=π2+2arcsin⁡xy=\frac\pi2+2\arcsin x на [−1,0][-1,0] и горизонтальный отрезок
    y=π2y=\frac\pi2 на [0,1][0,1]. Концы области определения включены.график к задаче Демидовича № 779
  3. 3

    Ответ

    y={π2+2arcsin⁡x,−1⩽x<0,π2,0⩽x⩽1y=
    \begin{cases}
    \dfrac\pi2+2\arcsin x, & -1\leqslant x<0,\\[2mm]
    \dfrac\pi2, & 0\leqslant x\leqslant1
    \end{cases}
  4. 4

    Пункт б)

    Из наличия корня необходимо x∈[−1,1]x\in[-1,1]. Для таких xx∣2x1−x2∣=2∣x∣1−x2⩽x2+(1−x2)=1\left|2x\sqrt{1-x^2}\right|
    =2|x|\sqrt{1-x^2}
    \leqslant x^2+(1-x^2)=1    поэтому внешний арксинус также определён. Следовательно, область
    определения снова равна [−1,1][-1,1]. При том же обозначении
    α=arcsin⁡x\alpha=\arcsin x имеем2x1−x2=2sin⁡αcos⁡α=sin⁡2α2x\sqrt{1-x^2}=2\sin\alpha\cos\alpha=\sin2\alphaЗдесь 2α∈[−π,π]2\alpha\in[-\pi,\pi]. На этом промежутке главная ветвь арксинуса
    даётarcsin⁡(sin⁡2α)={−π−2α,−π2⩽α<−π4,2α,−π4⩽α⩽π4,π−2α,π4<α⩽π2\arcsin(\sin2\alpha)=
    \begin{cases}
    -\pi-2\alpha,
    & -\dfrac\pi2\leqslant\alpha<-\dfrac\pi4,\\[2mm]
    2\alpha,
    & -\dfrac\pi4\leqslant\alpha\leqslant\dfrac\pi4,\\[2mm]
    \pi-2\alpha,
    & \dfrac\pi4<\alpha\leqslant\dfrac\pi2
    \end{cases}    Так как x=sin⁡αx=\sin\alpha и синус возрастает на
    [−π2,π2]\left[-\frac\pi2,\frac\pi2\right], причёмsin⁡(−π4)=−12,sin⁡π4=12\sin\left(-\frac\pi4\right)=-\frac1{\sqrt2},
    \qquad
    \sin\frac\pi4=\frac1{\sqrt2}    тоα<−π4  ⟺  x<−12,α>π4  ⟺  x>12\alpha< -\frac\pi4
    \iff x< -\frac1{\sqrt2},
    \qquad
    \alpha>\frac\pi4
    \iff x>\frac1{\sqrt2}    Вычитая 2α2\alpha, получаемy={−π−4arcsin⁡x,−1⩽x<−12,0,−12⩽x⩽12,π−4arcsin⁡x,12<x⩽1y=
    \begin{cases}
    -\pi-4\arcsin x,
    & -1\leqslant x< -\dfrac1{\sqrt2},\\[2mm]
    0,
    & -\dfrac1{\sqrt2}\leqslant x\leqslant\dfrac1{\sqrt2},\\[2mm]
    \pi-4\arcsin x,
    & \dfrac1{\sqrt2}<x\leqslant1
    \end{cases}    Обе внешние ветви убывают. Левая соединяет точки (−1,π)(-1,\pi) и
    (−12,0)\left(-\frac1{\sqrt2},0\right), правая — точки
    (12,0)\left(\frac1{\sqrt2},0\right) и (1,−π)(1,-\pi). Между ними график лежит на
    оси OxOx.
  5. 5

    Построение графика

    Строим две убывающие внешние ветви и включённый
    горизонтальный отрезок между абсциссами
    −12-\frac1{\sqrt2} и 12\frac1{\sqrt2}. Все четыре граничные и стыковые
    точки принадлежат графику.график к задаче Демидовича № 779

Проверка

Ответ.y={−π−4arcsin⁡x,−1⩽x<−12,0,−12⩽x⩽12,π−4arcsin⁡x,12<x⩽1y=
\begin{cases}
-\pi-4\arcsin x,
& -1\leqslant x< -\dfrac1{\sqrt2},\\[2mm]
0,
& -\dfrac1{\sqrt2}\leqslant x\leqslant\dfrac1{\sqrt2},\\[2mm]
\pi-4\arcsin x,
& \dfrac1{\sqrt2}<x\leqslant1
\end{cases}
Демидович № 779 — решение и ответ