Раздел I. Введение в анализ — § 8. Обратная функция. Функции, заданные параметрически

Демидович — задача 779

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Задача 779

Построить графики функций:а) y=arcsin⁡x+arcsin⁡1−x2\text{а) }y=\arcsin x+\arcsin\sqrt{1-x^2}б) y=arcsin⁡(2x1−x2)−2arcsin⁡x\text{б) }y=\arcsin\left(2x\sqrt{1-x^2}\right)-2\arcsin x
Построениеа) y=π/2+2arcsin⁡xy=\pi/2+2\arcsin x при −1⩽x<0-1\leqslant x<0 и y=π/2y=\pi/2 при 0⩽x⩽10\leqslant x\leqslant1.

б) y=−π−4arcsin⁡xy=-\pi-4\arcsin x при −1⩽x<−1/2-1\leqslant x<-1/\sqrt2; y=0y=0 при ∣x∣⩽1/2|x|\leqslant1/\sqrt2; y=π−4arcsin⁡xy=\pi-4\arcsin x при 1/2<x⩽11/\sqrt2<x\leqslant1.

Построение

Пункт а)

Из условия −1⩽x⩽1-1\leqslant x\leqslant1 следует
0⩽1−x2⩽10\leqslant\sqrt{1-x^2}\leqslant1, поэтому оба арксинуса определены и
область определения равна [−1,1][-1,1].
Введёмα=arcsin⁡x,−π2⩽α⩽π2\alpha=\arcsin x,
\qquad
-\frac\pi2\leqslant\alpha\leqslant\frac\pi2Тогда x=sin⁡αx=\sin\alpha и1−x2=1−sin⁡2α=cos⁡α\sqrt{1-x^2}=\sqrt{1-\sin^2\alpha}=\cos\alphaпоскольку на выбранном промежутке cos⁡α⩾0\cos\alpha\geqslant0. При
α⩽0\alpha\leqslant0 число π2+α\frac\pi2+\alpha принадлежит
[0,π2]\left[0,\frac\pi2\right], а при α⩾0\alpha\geqslant0 число
π2−α\frac\pi2-\alpha принадлежит тому же промежутку. Поэтомуarcsin⁡(cos⁡α)={π2+α,−π2⩽α<0,π2−α,0⩽α⩽π2\arcsin(\cos\alpha)=
\begin{cases}
\dfrac\pi2+\alpha, & -\dfrac\pi2\leqslant\alpha<0,\\[2mm]
\dfrac\pi2-\alpha, & 0\leqslant\alpha\leqslant\dfrac\pi2
\end{cases}и исходная функция принимает видy={π2+2arcsin⁡x,−1⩽x<0,π2,0⩽x⩽1y=
\begin{cases}
\dfrac\pi2+2\arcsin x, & -1\leqslant x<0,\\[2mm]
\dfrac\pi2, & 0\leqslant x\leqslant1
\end{cases}На отрезке [−1,0][-1,0] первая ветвь возрастает от −π2-\frac\pi2 до
π2\frac\pi2, а на [0,1][0,1] функция постоянна.

Построение графика

Изображаем возрастающую ветвь
y=π2+2arcsin⁡xy=\frac\pi2+2\arcsin x на [−1,0][-1,0] и горизонтальный отрезок
y=π2y=\frac\pi2 на [0,1][0,1]. Концы области определения включены.график к задаче Демидовича № 779

Ответ

y={π2+2arcsin⁡x,−1⩽x<0,π2,0⩽x⩽1y=
\begin{cases}
\dfrac\pi2+2\arcsin x, & -1\leqslant x<0,\\[2mm]
\dfrac\pi2, & 0\leqslant x\leqslant1
\end{cases}

Пункт б)

Из наличия корня необходимо x∈[−1,1]x\in[-1,1]. Для таких xx∣2x1−x2∣=2∣x∣1−x2⩽x2+(1−x2)=1\left|2x\sqrt{1-x^2}\right|
=2|x|\sqrt{1-x^2}
\leqslant x^2+(1-x^2)=1поэтому внешний арксинус также определён. Следовательно, область
определения снова равна [−1,1][-1,1]. При том же обозначении
α=arcsin⁡x\alpha=\arcsin x имеем2x1−x2=2sin⁡αcos⁡α=sin⁡2α2x\sqrt{1-x^2}=2\sin\alpha\cos\alpha=\sin2\alphaЗдесь 2α∈[−π,π]2\alpha\in[-\pi,\pi]. На этом промежутке главная ветвь арксинуса
даётarcsin⁡(sin⁡2α)={−π−2α,−π2⩽α<−π4,2α,−π4⩽α⩽π4,π−2α,π4<α⩽π2\arcsin(\sin2\alpha)=
\begin{cases}
-\pi-2\alpha,
& -\dfrac\pi2\leqslant\alpha<-\dfrac\pi4,\\[2mm]
2\alpha,
& -\dfrac\pi4\leqslant\alpha\leqslant\dfrac\pi4,\\[2mm]
\pi-2\alpha,
& \dfrac\pi4<\alpha\leqslant\dfrac\pi2
\end{cases}Так как x=sin⁡αx=\sin\alpha и синус возрастает на
[−π2,π2]\left[-\frac\pi2,\frac\pi2\right], причёмsin⁡(−π4)=−12,sin⁡π4=12\sin\left(-\frac\pi4\right)=-\frac1{\sqrt2},
\qquad
\sin\frac\pi4=\frac1{\sqrt2}тоα<−π4  ⟺  x<−12,α>π4  ⟺  x>12\alpha< -\frac\pi4
\iff x< -\frac1{\sqrt2},
\qquad
\alpha>\frac\pi4
\iff x>\frac1{\sqrt2}Вычитая 2α2\alpha, получаемy={−π−4arcsin⁡x,−1⩽x<−12,0,−12⩽x⩽12,π−4arcsin⁡x,12<x⩽1y=
\begin{cases}
-\pi-4\arcsin x,
& -1\leqslant x< -\dfrac1{\sqrt2},\\[2mm]
0,
& -\dfrac1{\sqrt2}\leqslant x\leqslant\dfrac1{\sqrt2},\\[2mm]
\pi-4\arcsin x,
& \dfrac1{\sqrt2}<x\leqslant1
\end{cases}Обе внешние ветви убывают. Левая соединяет точки (−1,π)(-1,\pi) и
(−12,0)\left(-\frac1{\sqrt2},0\right), правая — точки
(12,0)\left(\frac1{\sqrt2},0\right) и (1,−π)(1,-\pi). Между ними график лежит на
оси OxOx.

Построение графика

Строим две убывающие внешние ветви и включённый
горизонтальный отрезок между абсциссами
−12-\frac1{\sqrt2} и 12\frac1{\sqrt2}. Все четыре граничные и стыковые
точки принадлежат графику.график к задаче Демидовича № 779

Ответ

y={−π−4arcsin⁡x,−1⩽x<−12,0,−12⩽x⩽12,π−4arcsin⁡x,12<x⩽1y=
\begin{cases}
-\pi-4\arcsin x,
& -1\leqslant x< -\dfrac1{\sqrt2},\\[2mm]
0,
& -\dfrac1{\sqrt2}\leqslant x\leqslant\dfrac1{\sqrt2},\\[2mm]
\pi-4\arcsin x,
& \dfrac1{\sqrt2}<x\leqslant1
\end{cases}
Демидович № 779 — решение и ответ | Высшая математика — Профиматика