Раздел I. Введение в анализ — § 8. Обратная функция. Функции, заданные параметрически

Демидович — задача 775

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Задача 775

Доказать равенствоarctg⁡x+arctg⁡1x=π2sgn⁡x(x≠0).\operatorname{arctg} x+\operatorname{arctg}\frac1x=\frac\pi2\operatorname{sgn}x\qquad(x\ne0).

Доказательство

Идея

Сначала пусть x>0x>0. Обозначим α=arctg⁡x\alpha=\operatorname{arctg} x, тогда 0<α<π20<\alpha<\frac{\pi}{2}. Имеемtg⁡(π2−α)=ctg⁡α=1x.\operatorname{tg}\left(\frac{\pi}{2}-\alpha\right)=\operatorname{ctg}\alpha=\frac1x.Число π2−α\frac{\pi}{2}-\alpha принадлежит (0,π/2)(0,\pi/2), поэтому по определению арктангенсаarctg⁡1x=π2−arctg⁡x.\operatorname{arctg}\frac1x=\frac{\pi}{2}-\operatorname{arctg} x.Значит,arctg⁡x+arctg⁡1x=π2.\operatorname{arctg} x+\operatorname{arctg}\frac1x=\frac{\pi}{2}.
При x<0x<0 используем нечетность арктангенса:arctg⁡x+arctg⁡1x=−(arctg⁡(−x)+arctg⁡1−x)=−π2.\operatorname{arctg} x+\operatorname{arctg}\frac1x
=
-\left(\operatorname{arctg}(-x)+\operatorname{arctg}\frac1{-x}\right)
=
-\frac{\pi}{2}.Оба случая объединяются в формулуarctg⁡x+arctg⁡1x=π2sgn⁡x,x≠0.\boxed{\operatorname{arctg} x+\operatorname{arctg}\frac1x=\frac{\pi}{2}\operatorname{sgn}x},\qquad x\ne0.

Что и требовалось доказать

Демидович № 775 — решение