Раздел I. Введение в анализ — § 8. Обратная функция. Функции, заданные параметрически

Демидович — задача 771

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Определить однозначные непрерывные ветви обратных функций для функции

Задача 771

y=cos⁡x.y=\cos x.

Решение

Идея

Функция cos⁡x\cos x строго убывает на сегментах2πk≤x≤(2k+1)π2\pi k\le x\le(2k+1)\piи строго возрастает на(2k−1)π≤x≤2πk,k∈Z.(2k-1)\pi\le x\le2\pi k,
\qquad k\in\mathbb Z.На каждой ветви множество значений равно [−1,1][-1,1].
Для убывающих ветвейx=2πk+arccos⁡y,−1≤y≤1.\boxed{x=2\pi k+\arccos y,\qquad -1\le y\le1}.

Проверка

Для возрастающих ветвейx=2πk−arccos⁡y,−1≤y≤1.\boxed{x=2\pi k-\arccos y,\qquad -1\le y\le1}.
Демидович № 771 — решение