Раздел I. Введение в анализ — § 8. Обратная функция. Функции, заданные параметрически

Демидович — задача 783

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Задача 783

При каких условиях две системы уравненийx=φ(t),y=ψ(t)(a<t<b)x=\varphi(t),\qquad y=\psi(t)\qquad(a<t<b)иx=φ(χ(τ)),y=ψ(χ(τ))(α<τ<β)x=\varphi(\chi(\tau)),\qquad y=\psi(\chi(\tau))\qquad(\alpha<\tau<\beta)определяют одну и ту же функцию y=y(x)y=y(x)?

Решение

Идея

Во второй системе производится замена параметра t=χ(τ)t=\chi(\tau), поэтому прежде всего необходимоχ((α,β))⊂(a,b),\chi((\alpha,\beta))\subset(a,b),чтобы функции φ(χ(τ))\varphi(\chi(\tau)) и ψ(χ(τ))\psi(\chi(\tau)) были определены.
Обе системы должны иметь одну и ту же область определения по переменной xx. Для первой системы множество возможных значений xx равно φ((a,b))\varphi((a,b)), для второй — φ(χ((α,β)))\varphi(\chi((\alpha,\beta))). Поэтому необходимоφ((a,b))=φ(χ((α,β))).(1)\varphi((a,b))=\varphi(\chi((\alpha,\beta))).
\tag{1}Кроме того, одному и тому же значению xx должно соответствовать одно и то же значение yy. Поэтому для любых t∈(a,b)t\in(a,b) и τ∈(α,β)\tau\in(\alpha,\beta) должно выполнятьсяφ(t)=φ(χ(τ))⇒ψ(t)=ψ(χ(τ)).(2)\varphi(t)=\varphi(\chi(\tau))
\quad\Rightarrow\quad
\psi(t)=\psi(\chi(\tau)).
\tag{2}Условия (1), (2) действительно достаточны. Пусть t1,t2∈(a,b)t_1,t_2\in(a,b) и φ(t1)=φ(t2)\varphi(t_1)=\varphi(t_2). По (1) найдётся τ∈(α,β)\tau\in(\alpha,\beta) такое, чтоφ(χ(τ))=φ(t1)=φ(t2).\varphi(\chi(\tau))=\varphi(t_1)=\varphi(t_2).Тогда из (2)ψ(t1)=ψ(χ(τ))=ψ(t2),\psi(t_1)=\psi(\chi(\tau))=\psi(t_2),то есть первая система задаёт однозначную функцию y=y(x)y=y(x). Для второй системы однозначность проверяется аналогично.

Равенство (1) гарантирует совпадение областей определения этих функций, а условие (2) — совпадение их значений при каждом xx.

Таким образом, необходимые и достаточные условия имеют видχ((α,β))⊂(a,b),φ((a,b))=φ(χ((α,β))),φ(t)=φ(χ(τ))⇒ψ(t)=ψ(χ(τ))для всех t∈(a,b), τ∈(α,β).\boxed{
\begin{gathered}
\chi((\alpha,\beta))\subset(a,b),\\
\varphi((a,b))=\varphi(\chi((\alpha,\beta))),\\
\varphi(t)=\varphi(\chi(\tau))
\Rightarrow
\psi(t)=\psi(\chi(\tau))
\quad
\text{для всех }t\in(a,b),\ \tau\in(\alpha,\beta).
\end{gathered}
}

Проверка

В частности, условиеχ((α,β))=(a,b)\chi((\alpha,\beta))=(a,b)является более сильным условием, при котором равенство областей значений xx выполняется автоматически, но вообще оно не является необходимым.
Демидович № 783 — решение