Раздел I. Введение в анализ — § 8. Обратная функция. Функции, заданные параметрически

Демидович — задача 763

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Задача 763

Может ли немонотонная функция

y=f(x)

(-\infty<x<+\infty)

иметь однозначную обратную функцию? Рассмотреть пример:

y=\begin{cases}x,&\text{если }x\text{ рационально};\\-x,&\text{если }x\text{ иррационально}.\end{cases}

Решение

Идея

Да. Для существования однозначной обратной функции требуется взаимная однозначность исходной функции, а монотонность без условия непрерывности для этого не обязательна.

1
Рассмотрим данную функцию. Покажем, что она взаимно однозначна. Если два аргумента имеют одинаковую рациональность, из $f(x_1)=f(x_2)$ сразу следует $x_1=x_2$ . Если один аргумент рационален, а другой иррационален, равенство значений имело бы вид $x_1=-x_2$ , что невозможно: число и противоположное ему число одновременно рациональны или одновременно иррациональны.
2
Функция не является возрастающей: например, $1<\sqrt2$ , но $f(1)=1>-\sqrt2=f(\sqrt2)$ . Она не является и убывающей, поскольку $1<2$ , но $f(1)=1<f(2)=2$ .

Проверка

Кроме того,

f(f(x))=x

для любого

x

: рациональное число остается тем же, а для иррационального

x

имеем

f(x)=-x

, причем

-x

также иррационально. Поэтому

\boxed{f^{-1}=f}.

Таким образом, немонотонная функция может иметь однозначную обратную функцию.