Раздел I. Введение в анализ — § 8. Обратная функция. Функции, заданные параметрически

Демидович — задача 781

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Задача 781

Пустьx=ch⁡t,y=sh⁡t(−∞<t<+∞).x=\operatorname{ch}t,\qquad y=\operatorname{sh}t\qquad(-\infty<t<+\infty).В каких областях изменения параметра tt переменную yy можно рассматривать как однозначную функцию от переменной xx? Найти выражения yy для различных областей.

Решение

Идея

Функция x=ch⁡tx=\operatorname{ch}t не является взаимно однозначной на всей числовой прямой, поскольку ch⁡(−t)=ch⁡t\operatorname{ch}(-t)=\operatorname{ch}t. Максимальные промежутки ее строгой монотонности:−∞<t≤0и0≤t<+∞.-\infty<t\le0
\quad\text{и}\quad
0\le t<+\infty.
Используем тождествоch⁡2t−sh⁡2t=1.\operatorname{ch}^2t-\operatorname{sh}^2t=1.Так как x=ch⁡tx=\operatorname{ch}t и y=sh⁡ty=\operatorname{sh}t,y2=x2−1,x≥1.y^2=x^2-1,\qquad x\ge1.При t≥0t\ge0 имеем y=sh⁡t≥0y=\operatorname{sh}t\ge0, поэтомуy=x2−1,x≥1.\boxed{y=\sqrt{x^2-1},\qquad x\ge1}.При t≤0t\le0 имеем y≤0y\le0, поэтомуy=−x2−1,x≥1.\boxed{y=-\sqrt{x^2-1},\qquad x\ge1}.

Проверка

На всей области −∞<t<+∞-\infty<t<+\infty переменная yy однозначной функцией от xx не является: одному x>1x>1 соответствуют два значения ±x2−1\pm\sqrt{x^2-1}.
Демидович № 781 — решение