Раздел I. Введение в анализ — § 8. Обратная функция. Функции, заданные параметрически

Демидович — задача 781

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Пусть

x=\operatorname{ch}t,\qquad y=\operatorname{sh}t\qquad(-\infty<t<+\infty).

В каких областях изменения параметра

t

переменную

y

можно рассматривать как однозначную функцию от переменной

x

? Найти выражения

y

для различных областей.

Решение

Функция

x=\operatorname{ch}t

не является взаимно однозначной на всей числовой прямой, поскольку

\operatorname{ch}(-t)=\operatorname{ch}t

. Максимальные промежутки ее строгой монотонности:

-\infty<t\le0\quad\text{и}\quad0\le t<+\infty.

При

t\ge0

имеем

y=\operatorname{sh}t\ge0

, поэтому

y=\sqrt{x^2-1},\qquad x\ge1.

При

t\le0

имеем

y\le0

, поэтому

y=-\sqrt{x^2-1},\qquad x\ge1.

Проверка

На всей области

-\infty<t<+\infty

переменная

y

однозначной функцией от

x

не является: одному

x>1

соответствуют два значения

\pm\sqrt{x^2-1}