Раздел I. Введение в анализ — § 8. Обратная функция. Функции, заданные параметрически

Демидович — задача 760

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Задача 760

Найти обратную функцию x=x(y)x=x(y), еслиy=x+[x].y=x+[x].

Решение

Идея

Функция x+[x]x+[x] строго возрастает, поэтому обратная функция однозначна. Пусть [x]=n[x]=n, где n∈Zn\in\mathbb Z. Тогда n≤x<n+1n\le x<n+1 иy=x+n,y=x+n,откуда2n≤y<2n+1,x=y−n.2n\le y<2n+1,\qquad x=y-n.

Проверка

Таким образом, множество значений исходной функции имеет видY=⋃n∈Z[2n,2n+1).Y=\bigcup_{n\in\mathbb Z}[2n,2n+1).На промежутке 2n≤y<2n+12n\le y<2n+1 имеем [y2]=n\left[\frac y2\right]=n, поэтому обратную функцию можно записать одним выражением:x=y−[y2],y∈⋃n∈Z[2n,2n+1).\boxed{x=y-\left[\frac y2\right],\qquad
y\in\bigcup_{n\in\mathbb Z}[2n,2n+1).}
Демидович № 760 — решение