Раздел I. Введение в анализ — § 8. Обратная функция. Функции, заданные параметрически

Демидович — задача 768

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Определить однозначные непрерывные ветви обратных функций для функции

Задача 768

y=2x−x2.y=2x-x^2.

Решение

Идея

Запишемy=1−(x−1)2.y=1-(x-1)^2.Функция строго возрастает на (−∞,1](-\infty,1] и строго убывает на [1,+∞)[1,+\infty). На обеих ветвях множество значений равно (−∞,1](-\infty,1].
Из(x−1)2=1−y(x-1)^2=1-yимеемx=1±1−y.x=1\pm\sqrt{1-y}.Поэтому однозначные непрерывные ветви имеют видx=1−1−y,y≤1\boxed{x=1-\sqrt{1-y},\qquad y\le1}для x≤1x\le1, иx=1+1−y,y≤1\boxed{x=1+\sqrt{1-y},\qquad y\le1}для x≥1x\ge1.
Демидович № 768 — решение