Раздел I. Введение в анализ — § 8. Обратная функция. Функции, заданные параметрически

Демидович — задача 769

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Определить однозначные непрерывные ветви обратных функций для функции

Задача 769

y=2x1+x2.y=\frac{2x}{1+x^2}.

Решение

Идея

Изy=2x1+x2y=\frac{2x}{1+x^2}получаем квадратное уравнение относительно xx:yx2−2x+y=0.yx^2-2x+y=0.При y≠0y\ne0x=1±1−y2y.x=\frac{1\pm\sqrt{1-y^2}}{y}.
Первая ветвь соответствует промежутку −1≤x≤1-1\le x\le1. Удобно рационализовать выражение:1−1−y2y=y1+1−y2.\frac{1-\sqrt{1-y^2}}{y}
=
\frac{y}{1+\sqrt{1-y^2}}.Последняя формула имеет смысл и при y=0y=0, поэтомуx=y1+1−y2,−1≤y≤1.\boxed{
x=\frac{y}{1+\sqrt{1-y^2}},
\qquad -1\le y\le1
}.Вторая ветвь соответствует областям x≤−1x\le-1 и x≥1x\ge1:x=1+1−y2y,0<∣y∣≤1.\boxed{
x=\frac{1+\sqrt{1-y^2}}{y},
\qquad 0<|y|\le1
}.Ее область определения [−1,0)∪(0,1][-1,0)\cup(0,1] является максимальной областью существования этой непрерывной ветви.

Проверка

Таким образом, многозначная обратная функция имеет две однозначные непрерывные ветви.