Раздел I. Введение в анализ — § 8. Обратная функция. Функции, заданные параметрически

Демидович — задача 769

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Определить однозначные непрерывные ветви обратных функций для функции

y=\frac{2x}{1+x^2}.

Решение

Из

y=\frac{2x}{1+x^2}

получаем квадратное уравнение относительно

x

yx^2-2x+y=0.

При

y\ne0

x=\frac{1\pm\sqrt{1-y^2}}{y}.

Вторая ветвь соответствует областям

x\le-1

x\ge1

x=\frac{1+\sqrt{1-y^2}}{y},\qquad 0<|y|\le1.

Эта запись объединяет две ветви на отдельных интервалах: при

x\leqslant-1

имеем

-1\leqslant y<0

, а при

x\geqslant1

имеем

0<y\leqslant1

. В нуле внешние ветви не определены.

Указанные промежутки монотонности можно проверить непосредственно: при

u<v

\frac{2v}{1+v^2}-\frac{2u}{1+u^2} =\frac{2(v-u)(1-uv)}{(1+u^2)(1+v^2)}.

На

[-1,1]

для различных

u,v

имеем

uv<1

, и разность положительна. На каждом из промежутков

(-\infty,-1]

[1,+\infty)

имеем

uv>1

, и разность отрицательна.

Проверка

Итак, на промежутках монотонности исходной функции получаются три непрерывные обратные ветви; две внешние записываются одной формулой.