Раздел I. Введение в анализ — § 8. Обратная функция. Функции, заданные параметрически

Демидович — задача 778

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Задача 778

Доказать теорему сложения арккосинусов:arccos⁡x+arccos⁡y=(−1)εarccos⁡(xy−1−x21−y2)+2πε\arccos x+\arccos y=(-1)^\varepsilon\arccos\left(xy-\sqrt{1-x^2}\sqrt{1-y^2}\right)+2\pi\varepsilon(∣x∣≤1, ∣y∣≤1),(|x|\le1,\ |y|\le1),гдеε=0,если x+y≥0,\varepsilon=0,\quad\text{если }x+y\ge0,иε=1,если x+y<0.\varepsilon=1,\quad\text{если }x+y<0.

Доказательство

Идея

Положимα=arccos⁡x,β=arccos⁡y.\alpha=\arccos x,\qquad \beta=\arccos y.Тогда 0≤α,β≤π0\le\alpha,\beta\le\pi, причемcos⁡α=x,sin⁡α=1−x2,cos⁡β=y,sin⁡β=1−y2.\cos\alpha=x,\quad
\sin\alpha=\sqrt{1-x^2},\quad
\cos\beta=y,\quad
\sin\beta=\sqrt{1-y^2}.По формуле косинуса суммыcos⁡(α+β)=xy−1−x21−y2.\cos(\alpha+\beta)
=
xy-\sqrt{1-x^2}\sqrt{1-y^2}.Обозначим эту величину через zz.
  1. 1
    Теперь определим, лежит ли α+β\alpha+\beta в [0,π][0,\pi] или в (π,2π](\pi,2\pi]. По формуле суммы косинусовx+y=cos⁡α+cos⁡β=2cos⁡α+β2cos⁡α−β2.x+y
    =
    \cos\alpha+\cos\beta
    =
    2\cos\frac{\alpha+\beta}{2}
    \cos\frac{\alpha-\beta}{2}.    Поскольку ∣α−β∣≤π|\alpha-\beta|\le\pi, второй множитель неотрицателен. Поэтому x+y≥0x+y\ge0 соответствует α+β≤π\alpha+\beta\le\pi, а x+y<0x+y<0 - α+β>π\alpha+\beta>\pi.
  2. 2
    Если x+y≥0x+y\ge0, то 0≤α+β≤π0\le\alpha+\beta\le\pi, поэтомуarccos⁡z=α+β.\arccos z=\alpha+\beta.Это случай ε=0\varepsilon=0.
  3. 3
    Если x+y<0x+y<0, то π<α+β≤2π\pi<\alpha+\beta\le2\pi. Для такого углаarccos⁡(cos⁡(α+β))=2π−(α+β),\arccos(\cos(\alpha+\beta))
    =
    2\pi-(\alpha+\beta),    откудаα+β=2π−arccos⁡z.\alpha+\beta
    =
    2\pi-\arccos z.    Это случай ε=1\varepsilon=1.

Проверка

Следовательно,arccos⁡x+arccos⁡y=(−1)εarccos⁡(xy−1−x21−y2)+2πε.\boxed{
\arccos x+\arccos y
=
(-1)^\varepsilon
\arccos\left(xy-\sqrt{1-x^2}\sqrt{1-y^2}\right)
+2\pi\varepsilon
}.

Что и требовалось доказать

Демидович № 778 — решение