Раздел I. Введение в анализ — § 8. Обратная функция. Функции, заданные параметрически

Демидович — задача 784

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Задача 784

Пусть функции φ(x)\varphi(x) и ψ(x)\psi(x) определены и непрерывны на интервале (a,b)(a,b) иA=inf⁡a<x<bφ(x),B=sup⁡a<x<bφ(x).A=\inf_{a<x<b}\varphi(x),\qquad B=\sup_{a<x<b}\varphi(x).В каком случае существует однозначная функция f(x)f(x), определенная в интервале (A,B)(A,B) и такая, чтоψ(x)=f(φ(x))при a<x<b?\psi(x)=f(\varphi(x))\qquad\text{при }a<x<b?

Решение

Условие состоит в том, чтобы равным значениям φ\varphi всегда соответствовали равные значения ψ\psi:φ(x1)=φ(x2)⟹ψ(x1)=ψ(x2),x1,x2∈(a,b).\varphi(x_1)=\varphi(x_2)\quad\Longrightarrow\quad
\psi(x_1)=\psi(x_2),\qquad x_1,x_2\in(a,b).Необходимость следует из равенствψ(x1)=f(φ(x1))=f(φ(x2))=ψ(x2).\psi(x_1)=f(\varphi(x_1))=f(\varphi(x_2))=\psi(x_2).
Докажем достаточность. Обозначим через JJ множество всех значений φ\varphi на (a,b)(a,b). Для каждого u∈Ju\in J выберем любую точку xx с φ(x)=u\varphi(x)=u и положим f(u)=ψ(x)f(u)=\psi(x). Сформулированное условие гарантирует, что результат не зависит от выбора xx. Поэтому ff однозначна и f(φ(x))=ψ(x)f(\varphi(x))=\psi(x) во всех точках исходного интервала.

Остаётся проверить, что ff определена, в частности, на (A,B)(A,B). Если A<u<BA<u<B, по определениям точных граней найдутся x1,x2∈(a,b)x_1,x_2\in(a,b) с φ(x1)<u<φ(x2)\varphi(x_1)<u<\varphi(x_2). Функция φ\varphi непрерывна на отрезке с концами x1,x2x_1,x_2; теорема о промежуточных значениях даёт точку xx этого отрезка, в которой φ(x)=u\varphi(x)=u. Следовательно, (A,B)⊂J(A,B)\subset J.
Если конечное значение AA или BB тоже принимается функцией φ\varphi, приведённая конструкция задаёт ff и в этой граничной точке. Если φ\varphi постоянна, то JJ состоит из одного числа, а условие сводится к постоянству ψ\psi.
Демидович № 784 — решение | Высшая математика — Профиматика