Раздел I. Введение в анализ — § 8. Обратная функция. Функции, заданные параметрически

Демидович — задача 784

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Пусть функции

\varphi(x)

\psi(x)

определены и непрерывны на интервале

(a,b)

A=\inf_{a<x<b}\varphi(x),\qquad B=\sup_{a<x<b}\varphi(x).

В каком случае существует однозначная функция

f(x)

, определенная в интервале

(A,B)

и такая, что

\psi(x)=f(\varphi(x))\qquad\text{при }a<x<b?

Решение

Идея

Если существует функция

f

, определённая на

(A,B)

, и

\psi(x)=f(\varphi(x))

для всех

x\in(a,b)

, то прежде всего должно выполняться

A<\varphi(x)<B\qquad\text{для всех }x\in(a,b),

иначе при

\varphi(x)=A

или

\varphi(x)=B

значение

f(\varphi(x))

не определено.

1
Кроме того, если $\varphi(x_1)=\varphi(x_2)$ , то $\psi(x_1)=f(\varphi(x_1))=f(\varphi(x_2))=\psi(x_2).$ Поэтому необходимо условие $\varphi(x_1)=\varphi(x_2)\quad\Rightarrow\quad\psi(x_1)=\psi(x_2).$
2
Покажем, что этих двух условий достаточно. Так как $\varphi$ непрерывна и $A=\inf_{a<x<b}\varphi(x),\qquad B=\sup_{a<x<b}\varphi(x),$ она принимает каждое значение $y\in(A,B)$ . Действительно, по определениям точных граней найдутся $x_1,x_2\in(a,b)$ , для которых $\varphi(x_1)<y<\varphi(x_2),$ и по теореме о промежуточном значении существует $x$ между $x_1$ и $x_2$ такой, что $\varphi(x)=y$ .

Поэтому для каждого $y\in(A,B)$ можно выбрать любое $x\in(a,b)$ с $\varphi(x)=y$ и положить $f(y)=\psi(x).$ Если значение $y$ достигается при нескольких значениях $x$ , условие $\varphi(x_1)=\varphi(x_2)\Rightarrow\psi(x_1)=\psi(x_2)$ показывает, что $f(y)$ не зависит от выбора $x$ . $\boxed{\begin{gathered}A<\varphi(x)<B\quad\text{для всех }x\in(a,b),\\\varphi(x_1)=\varphi(x_2)\Rightarrow\psi(x_1)=\psi(x_2)\quad\text{для всех }x_1,x_2\in(a,b).\end{gathered}}$

Проверка

Таким образом, функция

f

существует и однозначно определяется на всём интервале

(A,B)