Раздел I. Введение в анализ — § 8. Обратная функция. Функции, заданные параметрически

Демидович — задача 773

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Задача 773

Показать, что множество значений непрерывной функцииy=1+sin⁡x,y=1+\sin x,соответствующих интервалу (0<x<2π)(0<x<2\pi), есть сегмент.

Доказательство

Идея

Поскольку −1≤sin⁡x≤1-1\le\sin x\le1, для всех 0<x<2π0<x<2\pi имеем0≤1+sin⁡x≤2.0\le1+\sin x\le2.Оба крайних значения достигаются внутри данного интервала:1+sin⁡π2=2,1+sin⁡3π2=0.1+\sin\frac{\pi}{2}=2,\qquad
1+\sin\frac{3\pi}{2}=0.Функция непрерывна на сегменте [π/2,3π/2][\pi/2,3\pi/2], поэтому по теореме Коши принимает на нем все промежуточные значения между 00 и 22.

Проверка

Следовательно, множество значений на всем интервале (0,2π)(0,2\pi) равно[0,2].\boxed{[0,2]}.

Что и требовалось доказать

Демидович № 773 — решение