Раздел I. Введение в анализ — § 8. Обратная функция. Функции, заданные параметрически

Демидович — задача 774

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Задача 774

Доказать равенствоarcsin⁡x+arccos⁡x=π2.\arcsin x+\arccos x=\frac\pi2.

Доказательство

Идея

Пусть α=arcsin⁡x\alpha=\arcsin x, где −π2≤α≤π2-\frac{\pi}{2}\le\alpha\le\frac{\pi}{2}. Тогда sin⁡α=x\sin\alpha=x.
Положим β=π2−α\beta=\frac{\pi}{2}-\alpha. Имеем 0≤β≤π0\le\beta\le\pi иcos⁡β=cos⁡(π2−α)=sin⁡α=x.\cos\beta
=
\cos\left(\frac{\pi}{2}-\alpha\right)
=
\sin\alpha
=
x.По определению арккосинуса β=arccos⁡x\beta=\arccos x. Поэтомуarcsin⁡x+arccos⁡x=π2,∣x∣≤1.\boxed{\arcsin x+\arccos x=\frac{\pi}{2}},\qquad |x|\le1.

Что и требовалось доказать

Демидович № 774 — решение