Раздел I. Введение в анализ — § 8. Обратная функция. Функции, заданные параметрически

Демидович — задача 780

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Задача 780

Найти функцию y=y(x)y=y(x), заданную уравнениями:x=arctg⁡t,y=arctg⁡t(−∞<t<+∞).x=\operatorname{arctg} t,\qquad y=\operatorname{arctg} t\qquad(-\infty<t<+\infty).В какой области определена эта функция?

Решение

Из заданных уравнений непосредственно имеемy=x.y=x.При −∞<t<+∞-\infty<t<+\infty функция arctg⁡t\operatorname{arctg} t принимает все значения из интервала (−π/2,π/2)(-\pi/2,\pi/2). Поэтомуy=x,−π2<x<π2.\boxed{y=x,\qquad -\frac{\pi}{2}<x<\frac{\pi}{2}}.
Демидович № 780 — решение