Раздел I. Введение в анализ — § 8. Обратная функция. Функции, заданные параметрически

Демидович — задача 764

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Задача 764

В каком случае функция y=f(x)y=f(x) и обратная функция x=f−1(y)x=f^{-1}(y) представляют одну и ту же функцию?

Решение

Идея

Функция и ее обратная представляют одну и ту же функцию тогда и только тогда, когда область значений ff совпадает с ее областью определения иf(f(x))=xf(f(x))=xдля каждого xx из этой области.
Действительно, равенство f−1=ff^{-1}=f равносильно тому, что применение ff два раза возвращает исходный аргумент.

Проверка

Итак,f−1=f  ⟺  f(f(x))=x\boxed{f^{-1}=f\iff f(f(x))=x}при условии, что ff является взаимно однозначным отображением своей области определения на себя. Геометрически график такой функции симметричен относительно прямой y=xy=x и при этой симметрии переходит сам в себя.
Демидович № 764 — решение