Раздел I. Введение в анализ — § 8. Обратная функция. Функции, заданные параметрически

Демидович — задача 759

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Задача 759

Найти обратную функцию дробно-линейной функцииy=ax+bcx+d(ad−bc≠0).y=\frac{ax+b}{cx+d}\qquad(ad-bc\ne0).В каком случае обратная функция совпадает с данной?

Решение

Из равенстваy(cx+d)=ax+by(cx+d)=ax+bимеем x(cy−a)=b−dyx(cy-a)=b-dy, откудаx=dy−ba−cy.x=\frac{dy-b}{a-cy}.Поэтомуf−1(x)=dx−ba−cx.f^{-1}(x)=\frac{dx-b}{a-cx}.
При c≠0c\ne0 исходная функция определена при x≠−dcx\ne-\frac dc, а обратная - при x≠acx\ne\frac ac. Если c=0c=0, обе функции являются линейными и определены на всей числовой прямой.
Для совпадения функции со своей обратной необходимоax+bcx+d=dx−ba−cx.\frac{ax+b}{cx+d}=\frac{dx-b}{a-cx}.После перемножения получаем(a+d)(−cx2+(a−d)x+b)=0.(a+d)\bigl(-cx^2+(a-d)x+b\bigr)=0.Равенство должно выполняться при всех допустимых xx. Поэтому либо a+d=0a+d=0, либо c=b=0c=b=0 и a=d≠0a=d\ne0. Во втором случае f(x)=xf(x)=x.

Проверка

Итак,f−1=f  ⟺  a+d=0илиf(x)≡x.f^{-1}=f\iff a+d=0\quad\text{или}\quad f(x)\equiv x.
Демидович № 759 — решение | Высшая математика — Профиматика