Раздел I. Введение в анализ — § 8. Обратная функция. Функции, заданные параметрически

Демидович — задача 759

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Найти обратную функцию дробно-линейной функции

y=\frac{ax+b}{cx+d}\qquad(ad-bc\ne0).

В каком случае обратная функция совпадает с данной?

Решение

Идея

Из равенства

y(cx+d)=ax+b

имеем

x(cy-a)=b-dy

, откуда

x=\frac{dy-b}{a-cy}.

Поэтому

\boxed{f^{-1}(x)=\frac{dx-b}{a-cx}}.

1
При $c\ne0$ исходная функция определена при $x\ne-\frac dc$ , а обратная - при $x\ne\frac ac$ . Если $c=0$ , обе функции являются линейными и определены на всей числовой прямой.
2
Для совпадения функции со своей обратной необходимо $\frac{ax+b}{cx+d}=\frac{dx-b}{a-cx}.$ После перемножения получаем $(a+d)\bigl(-cx^2+(a-d)x+b\bigr)=0.$ Равенство должно выполняться при всех допустимых $x$ . Поэтому либо $a+d=0$ , либо $c=b=0$ и $a=d\ne0$ . Во втором случае $f(x)=x$ .

Проверка

Итак,

\boxed{f^{-1}=f\iff a+d=0\quad\text{или}\quad f(x)\equiv x}.