Раздел I. Введение в анализ — § 8. Обратная функция. Функции, заданные параметрически

Демидович — задача 761

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Задача 761

Показать, что существует единственная непрерывная функция y=y(x)y=y(x) (−∞<x<+∞)(-\infty<x<+\infty), удовлетворяющая уравнению Кеплераy−εsin⁡y=x(0≤ε<1).y-\varepsilon\sin y=x\qquad(0\le\varepsilon<1).

Доказательство

Идея

Рассмотрим функциюF(y)=y−εsin⁡y.F(y)=y-\varepsilon\sin y.Она непрерывна на всей числовой прямой. Покажем, что FF строго возрастает. Если y2>y1y_2>y_1, тоF(y2)−F(y1)=(y2−y1)−ε(sin⁡y2−sin⁡y1)≥(y2−y1)−ε∣sin⁡y2−sin⁡y1∣≥(1−ε)(y2−y1)>0,\begin{aligned}
F(y_2)-F(y_1)
&=(y_2-y_1)-\varepsilon(\sin y_2-\sin y_1)\\
&\ge (y_2-y_1)-\varepsilon|\sin y_2-\sin y_1|\\
&\ge(1-\varepsilon)(y_2-y_1)>0,
\end{aligned}где использовано неравенство ∣sin⁡u−sin⁡v∣≤∣u−v∣|\sin u-\sin v|\le|u-v|.
  1. 1
    Кроме того, из ∣εsin⁡y∣≤ε|\varepsilon\sin y|\le\varepsilon имеем y−ε≤F(y)≤y+εy-\varepsilon\le F(y)\le y+\varepsilon, поэтомуF(y)→−∞(y→−∞),F(y)→+∞(y→+∞).F(y)\to-\infty\quad(y\to-\infty),
    \qquad
    F(y)\to+\infty\quad(y\to+\infty).    Непрерывная строго возрастающая функция FF принимает все действительные значения и каждому x∈Rx\in\mathbb R ставит в соответствие единственное yy.
  2. 2
    Следовательно, существует обратная функцияy=F−1(x),y=F^{-1}(x),определенная на всей числовой прямой. По теореме о непрерывности обратной функции она непрерывна.

Проверка

Итак, уравнение Кеплера определяетединственную непрерывную функцию y=y(x),−∞<x<+∞.\boxed{\text{единственную непрерывную функцию }y=y(x),\quad -\infty<x<+\infty.}

Что и требовалось доказать