Раздел I. Введение в анализ — § 8. Обратная функция. Функции, заданные параметрически

Демидович — задача 772

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Определить однозначные непрерывные ветви обратных функций для функции

Задача 772

y=tg⁡x.y=\operatorname{tg} x.

Решение

Идея

На каждом интервале−π2+kπ<x<π2+kπ,k∈Z,-\frac{\pi}{2}+k\pi<x<\frac{\pi}{2}+k\pi,
\qquad k\in\mathbb Z,функция tg⁡x\operatorname{tg} x непрерывна, строго возрастает и принимает все действительные значения.
Поэтому все однозначные непрерывные ветви обратной функции имеют видx=arctg⁡y+kπ,−∞<y<+∞,k∈Z.\boxed{x=\operatorname{arctg} y+k\pi,\qquad -\infty<y<+\infty,\quad k\in\mathbb Z}.
Демидович № 772 — решение