Демидович — задача 776

1. 1
   Пусть сначала $xy\neq1$. По формуле тангенса суммы$$\tan(\alpha+\beta)=$$
   \frac{\tan\alpha+\tan\beta}
   {1-\tan\alpha\tan\beta}=
   \frac{x+y}{1-xy}Следовательно, числа $\alpha+\beta$ и
   $\arctan\frac{x+y}{1-xy}$ имеют один и тот же тангенс и отличаются на
   целое число $\pi$. Поскольку $\alpha+\beta\in(-\pi,\pi)$, возможны только
   поправки $0$, $\pi$ и $-\pi$.
   
   Чтобы выбрать поправку, найдём знак косинуса суммы:$$\cos(\alpha+\beta)=$$
   \frac{1-xy}{\sqrt{1+x^2}\sqrt{1+y^2}}Если $xy<1$, то этот косинус положителен. Вместе с условием
   $-\pi<\alpha+\beta<\pi$ это даёт$$-\frac\pi2<\alpha+\beta<\frac\pi2$$поэтому $\varepsilon=0$.
2. 2
   Если $xy>1$, то числа $x$ и $y$ имеют одинаковые знаки. При $x>0$ и
   $y>0$ сумма $\alpha+\beta$ принадлежит интервалу
   $\left(\frac\pi2,\pi\right)$, поэтому к главному значению арктангенса
   нужно прибавить $\pi$. При $x<0$ и $y<0$ сумма принадлежит интервалу
   $\left(-\pi,-\frac\pi2\right)$, поэтому нужно вычесть $\pi$. Итак,
   обозначив через$$H=\{(u,v)\in\mathbb R^2:uv=1\}$$исключённую гиперболу, на множестве $\mathbb R^2\setminus H$ получаем$$\varepsilon(x,y)=$$
   \begin{cases}
   1, & xy>1,\quad x>0,\quad y>0,\\[1mm]
   -1, & xy>1,\quad x<0,\quad y<0,\\[1mm]
   0, & xy<1
   \end{cases}При $xy=1$ дробь в правой части исходной формулы не определена. В этих
   точках отдельно получаем$$\arctan x+\arctan\frac1x=$$
   \frac\pi2\operatorname{sgn}x,
   \qquad x\neq0Таким образом, гипербола $xy=1$ является границей областей постоянства
   $\varepsilon$. Какое бы значение ни было назначено функции на этой
   границе, непрерывного продолжения не получится, поскольку значения в
   соседних областях различны.
3. 3
   Итак, при фиксированном $x\neq0$ единственной граничной точкой, в которой
   нарушается возможность непрерывного продолжения функции $\varepsilon$ по
   переменной $y$, является $y=\frac1x$. Если $x>0$, то слева от неё
   $\varepsilon=0$, а справа $\varepsilon=1$.
4. 4
   Если $x<0$, то слева $\varepsilon=-1$, а справа $\varepsilon=0$. При
   $x=0$ имеем $xy<1$ для любого $y$, поэтому $\varepsilon\equiv0$ и разрыва
   нет.
5. 5

   Построение графика

   На плоскости $Oxy$ пунктиром показана исключённая
   гипербола $xy=1$. Над её ветвью в первой четверти лежит область
   $\varepsilon=1$, под ветвью в третьей четверти — область
   $\varepsilon=-1$, а вся оставшаяся область $xy<1$ соответствует значению
   $\varepsilon=0$.

Что и требовалось доказать