Раздел I. Введение в анализ — § 8. Обратная функция. Функции, заданные параметрически

Демидович — задача 776

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Задача 776

Доказать теорему сложения арктангенсов:arctan⁡x+arctan⁡y=arctan⁡x+y1−xy+επ\arctan x+\arctan y=
\arctan\frac{x+y}{1-xy}+\varepsilon\piгде ε=ε(x,y)\varepsilon=\varepsilon(x,y) — функция, принимающая одно из трёх
значений: 00, 11, −1-1.

Для каких значений yy при данном значении xx возможен разрыв функции
ε\varepsilon? Построить на плоскости OxyOxy соответствующие области
непрерывности функции ε\varepsilon и определить значение этой функции в
полученных областях.
Доказано:Функция ε\varepsilon определена на
R2∖H\mathbb R^2\setminus H, где H={(x,y)∈R2:xy=1}H=\{(x,y)\in\mathbb R^2:xy=1\}. При
xy<1xy<1 имеем ε=0\varepsilon=0; при xy>1xy>1 в первой четверти
ε=1\varepsilon=1, а в третьей четверти ε=−1\varepsilon=-1. На гиперболе
HH правая часть исходной формулы не определена, и непрерывно продолжить
на неё функцию ε\varepsilon невозможно. При фиксированном x≠0x\neq0
единственная такая граничная точка по переменной yy равна
y=1xy=\frac1x; при x=0x=0 разрывов нет.

Доказательство

Будем понимать arctan⁡\arctan как главную ветвь арктангенса со значениями в
(−π2,π2)\left(-\frac\pi2,\frac\pi2\right). Положимα=arctan⁡x,β=arctan⁡y\alpha=\arctan x,
\qquad
\beta=\arctan yТогда x=tan⁡αx=\tan\alpha, y=tan⁡βy=\tan\beta и−π<α+β<π-\pi<\alpha+\beta<\pi
Пусть сначала xy≠1xy\neq1. По формуле тангенса суммыtan⁡(α+β)=tan⁡α+tan⁡β1−tan⁡αtan⁡β=x+y1−xy\tan(\alpha+\beta)=
\frac{\tan\alpha+\tan\beta}
{1-\tan\alpha\tan\beta}=
\frac{x+y}{1-xy}Следовательно, числа α+β\alpha+\beta и
arctan⁡x+y1−xy\arctan\frac{x+y}{1-xy} имеют один и тот же тангенс и отличаются на
целое число π\pi. Поскольку α+β∈(−π,π)\alpha+\beta\in(-\pi,\pi), возможны только
поправки 00, π\pi и −π-\pi.

Чтобы выбрать поправку, найдём знак косинуса суммы:cos⁡(α+β)=1−xy1+x21+y2\cos(\alpha+\beta)=
\frac{1-xy}{\sqrt{1+x^2}\sqrt{1+y^2}}Если xy<1xy<1, то этот косинус положителен. Вместе с условием
−π<α+β<π-\pi<\alpha+\beta<\pi это даёт−π2<α+β<π2-\frac\pi2<\alpha+\beta<\frac\pi2поэтому ε=0\varepsilon=0.
Если xy>1xy>1, то числа xx и yy имеют одинаковые знаки. При x>0x>0 и
y>0y>0 сумма α+β\alpha+\beta принадлежит интервалу
(π2,π)\left(\frac\pi2,\pi\right), поэтому к главному значению арктангенса
нужно прибавить π\pi. При x<0x<0 и y<0y<0 сумма принадлежит интервалу
(−π,−π2)\left(-\pi,-\frac\pi2\right), поэтому нужно вычесть π\pi. Итак,
обозначив черезH={(u,v)∈R2:uv=1}H=\{(u,v)\in\mathbb R^2:uv=1\}исключённую гиперболу, на множестве R2∖H\mathbb R^2\setminus H получаемε(x,y)={1,xy>1,x>0,y>0,−1,xy>1,x<0,y<0,0,xy<1\varepsilon(x,y)=
\begin{cases}
1, & xy>1,\quad x>0,\quad y>0,\\[1mm]
-1, & xy>1,\quad x<0,\quad y<0,\\[1mm]
0, & xy<1
\end{cases}При xy=1xy=1 дробь в правой части исходной формулы не определена. В этих
точках отдельно получаемarctan⁡x+arctan⁡1x=π2sgn⁡x,x≠0\arctan x+\arctan\frac1x=
\frac\pi2\operatorname{sgn}x,
\qquad x\neq0Таким образом, гипербола xy=1xy=1 является границей областей постоянства
ε\varepsilon. Какое бы значение ни было назначено функции на этой
границе, непрерывного продолжения не получится, поскольку значения в
соседних областях различны.
Итак, при фиксированном x≠0x\neq0 единственной граничной точкой, в которой
нарушается возможность непрерывного продолжения функции ε\varepsilon по
переменной yy, является y=1xy=\frac1x. Если x>0x>0, то слева от неё
ε=0\varepsilon=0, а справа ε=1\varepsilon=1.
Если x<0x<0, то слева ε=−1\varepsilon=-1, а справа ε=0\varepsilon=0. При
x=0x=0 имеем xy<1xy<1 для любого yy, поэтому ε≡0\varepsilon\equiv0 и разрыва
нет.

Построение графика

На плоскости OxyOxy пунктиром показана исключённая
гипербола xy=1xy=1. Над её ветвью в первой четверти лежит область
ε=1\varepsilon=1, под ветвью в третьей четверти — область
ε=−1\varepsilon=-1, а вся оставшаяся область xy<1xy<1 соответствует значению
ε=0\varepsilon=0.график к задаче Демидовича № 776

Что и требовалось доказать

Демидович № 776 — решение и ответ | Высшая математика — Профиматика