Раздел I. Введение в анализ — § 8. Обратная функция. Функции, заданные параметрически

Демидович — задача 777

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Доказать теорему сложения арксинусов:

\arcsin x+\arcsin y=(-1)^\varepsilon\arcsin\left(x\sqrt{1-y^2}+y\sqrt{1-x^2}\right)+\varepsilon\pi

(|x|\le1,\ |y|\le1),

где

\varepsilon=0,\quad\text{если }xy\le0\ \text{или }x^2+y^2\le1,

\varepsilon=\operatorname{sgn}x,\quad\text{если }xy>0\ \text{и }x^2+y^2>1.

Доказательство

Идея

Положим

\alpha=\arcsin x,\qquad \beta=\arcsin y.

Тогда

\alpha,\beta\in[-\pi/2,\pi/2]

, причем

\sin\alpha=x,\quad\cos\alpha=\sqrt{1-x^2},\quad\sin\beta=y,\quad\cos\beta=\sqrt{1-y^2}.

По формуле синуса суммы

\sin(\alpha+\beta)=x\sqrt{1-y^2}+y\sqrt{1-x^2}.

Обозначим правую часть через

z

1
Если $xy\le0$ , числа $\alpha$ и $\beta$ имеют разные знаки, поэтому $|\alpha+\beta|\le\pi/2$ . Тогда $\arcsin z=\alpha+\beta.$ Пусть $xy>0$ . Тогда $\alpha$ и $\beta$ имеют один знак. Имеем $\cos(\alpha+\beta)=\sqrt{1-x^2}\sqrt{1-y^2}-xy.$ Так как $xy>0$ , условие $\cos(\alpha+\beta)\ge0$ равносильно $(1-x^2)(1-y^2)\ge x^2y^2,$ то есть $x^2+y^2\le1.$ В этом случае снова $|\alpha+\beta|\le\pi/2$ , поэтому $\arcsin z=\alpha+\beta$ , что соответствует $\varepsilon=0$ .

Остается случай $xy>0$ и $x^2+y^2>1$ . Тогда $|\alpha+\beta|>\pi/2$ .
2
Если $x>0$ , то $\alpha+\beta\in(\pi/2,\pi]$ . Для таких углов $\arcsin(\sin(\alpha+\beta))=\pi-(\alpha+\beta),$ откуда $\alpha+\beta=-\arcsin z+\pi.$ Здесь $\varepsilon=1$ .
3
Если $x<0$ , то $\alpha+\beta\in[-\pi,-\pi/2)$ , и $\arcsin(\sin(\alpha+\beta))=-\pi-(\alpha+\beta).$ Поэтому $\alpha+\beta=-\arcsin z-\pi.$ Здесь $\varepsilon=-1$ .

Проверка

Все случаи объединяются в формулу

\boxed{\arcsin x+\arcsin y=(-1)^\varepsilon\arcsin\left(x\sqrt{1-y^2}+y\sqrt{1-x^2}\right)+\varepsilon\pi}.

Что и требовалось доказать