Раздел I. Введение в анализ — § 8. Обратная функция. Функции, заданные параметрически

Демидович — задача 777

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Задача 777

Доказать теорему сложения арксинусов:arcsin⁡x+arcsin⁡y=(−1)εarcsin⁡(x1−y2+y1−x2)+επ\arcsin x+\arcsin y=(-1)^\varepsilon\arcsin\left(x\sqrt{1-y^2}+y\sqrt{1-x^2}\right)+\varepsilon\pi(∣x∣≤1, ∣y∣≤1),(|x|\le1,\ |y|\le1),гдеε=0,если xy≤0 или x2+y2≤1,\varepsilon=0,\quad\text{если }xy\le0\ \text{или }x^2+y^2\le1,иε=sgn⁡x,если xy>0 и x2+y2>1.\varepsilon=\operatorname{sgn}x,\quad\text{если }xy>0\ \text{и }x^2+y^2>1.

Доказательство

Положимα=arcsin⁡x,β=arcsin⁡y.\alpha=\arcsin x,\qquad \beta=\arcsin y.Тогда α,β∈[−π/2,π/2]\alpha,\beta\in[-\pi/2,\pi/2], причемsin⁡α=x,cos⁡α=1−x2,sin⁡β=y,cos⁡β=1−y2.\sin\alpha=x,\quad
\cos\alpha=\sqrt{1-x^2},\quad
\sin\beta=y,\quad
\cos\beta=\sqrt{1-y^2}.По формуле синуса суммыsin⁡(α+β)=x1−y2+y1−x2.\sin(\alpha+\beta)
=
x\sqrt{1-y^2}+y\sqrt{1-x^2}.Обозначим правую часть через zz.
Если xy≤0xy\le0, числа α\alpha и β\beta имеют разные знаки, поэтому ∣α+β∣≤π/2|\alpha+\beta|\le\pi/2. Тогдаarcsin⁡z=α+β.\arcsin z=\alpha+\beta.Пусть xy>0xy>0. Тогда α\alpha и β\beta имеют один знак. Имеемcos⁡(α+β)=1−x21−y2−xy.\cos(\alpha+\beta)
=
\sqrt{1-x^2}\sqrt{1-y^2}-xy.Так как xy>0xy>0, условие cos⁡(α+β)≥0\cos(\alpha+\beta)\ge0 равносильно(1−x2)(1−y2)≥x2y2,(1-x^2)(1-y^2)\ge x^2y^2,то естьx2+y2≤1.x^2+y^2\le1.В этом случае снова ∣α+β∣≤π/2|\alpha+\beta|\le\pi/2, поэтому arcsin⁡z=α+β\arcsin z=\alpha+\beta, что соответствует ε=0\varepsilon=0.

Остается случай xy>0xy>0 и x2+y2>1x^2+y^2>1. Тогда ∣α+β∣>π/2|\alpha+\beta|>\pi/2.
Если x>0x>0, то α+β∈(π/2,π]\alpha+\beta\in(\pi/2,\pi]. Для таких угловarcsin⁡(sin⁡(α+β))=π−(α+β),\arcsin(\sin(\alpha+\beta))
=
\pi-(\alpha+\beta),откудаα+β=−arcsin⁡z+π.\alpha+\beta
=
-\arcsin z+\pi.Здесь ε=1\varepsilon=1.
Если x<0x<0, то α+β∈[−π,−π/2)\alpha+\beta\in[-\pi,-\pi/2), иarcsin⁡(sin⁡(α+β))=−π−(α+β).\arcsin(\sin(\alpha+\beta))
=
-\pi-(\alpha+\beta).Поэтомуα+β=−arcsin⁡z−π.\alpha+\beta
=
-\arcsin z-\pi.Здесь ε=−1\varepsilon=-1.

Проверка

Все случаи объединяются в формулуarcsin⁡x+arcsin⁡y=(−1)εarcsin⁡(x1−y2+y1−x2)+επ.\arcsin x+\arcsin y
=
(-1)^\varepsilon
\arcsin\left(x\sqrt{1-y^2}+y\sqrt{1-x^2}\right)
+\varepsilon\pi
.

Что и требовалось доказать

Демидович № 777 — решение | Высшая математика — Профиматика