Раздел I. Введение в анализ — § 8. Обратная функция. Функции, заданные параметрически

Демидович — задача 782

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Задача 782

Каковы необходимые и достаточные условия того, чтобы система уравненийx=φ(t),y=ψ(t)(α<t<β)x=\varphi(t),\qquad y=\psi(t)\qquad(\alpha<t<\beta)определяла бы yy как однозначную функцию от xx?

Рассмотреть пример: x=sin⁡2t, y=cos⁡2tx=\sin^2t,\ y=\cos^2t.

Решение

Идея

Система определяет yy как однозначную функцию от xx тогда и только тогда, когда любым двум значениям параметра, дающим одно и то же значение xx, соответствует одно и то же значение yy, то естьφ(t1)=φ(t2)⇒ψ(t1)=ψ(t2).\boxed{
\varphi(t_1)=\varphi(t_2)
\quad\Rightarrow\quad
\psi(t_1)=\psi(t_2)
}.
Необходимость этого условия следует из однозначности функции: одному значению xx не могут соответствовать два различных значения yy.

Обратно, пусть условие выполнено. Для каждого xx из множества значений функции φ(t)\varphi(t) выберем любое t∈(α,β)t\in(\alpha,\beta), для которого φ(t)=x\varphi(t)=x, и положим f(x)=ψ(t)f(x)=\psi(t). Если одному значению xx соответствуют несколько значений параметра, то по условию значения ψ(t)\psi(t) для них совпадают. Поэтому f(x)f(x) определена однозначно.

Проверка

В примереx=sin⁡2t,y=cos⁡2tx=\sin^2t,\qquad y=\cos^2tимеемy=cos⁡2t=1−sin⁡2t=1−x.y=\cos^2t=1-\sin^2t=1-x.Таким образом, независимо от того, сколько различных значений tt соответствует одному xx, значение yy определяется однозначно:y=1−x.\boxed{y=1-x}.Область определения этой функции совпадает с множеством значений sin⁡2t\sin^2t при α<t<β\alpha<t<\beta. Если параметр tt пробегает всю числовую прямую, то0≤x≤1.\boxed{0\le x\le1}.
Демидович № 782 — решение