Раздел I. Введение в анализ — § 8. Обратная функция. Функции, заданные параметрически

Демидович — задача 770

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Определить однозначные непрерывные ветви обратных функций для функции

Задача 770

y=sin⁡x.y=\sin x.

Решение

Идея

Функция sin⁡x\sin x строго возрастает на каждом сегменте−π2+2πk≤x≤π2+2πk,k∈Z,-\frac{\pi}{2}+2\pi k\le x\le\frac{\pi}{2}+2\pi k,
\qquad k\in\mathbb Z,и строго убывает наπ2+2πk≤x≤3π2+2πk.\frac{\pi}{2}+2\pi k\le x\le\frac{3\pi}{2}+2\pi k.На каждом таком сегменте множество значений равно [−1,1][-1,1].
Для возрастающих ветвейx=arcsin⁡y+2πk,−1≤y≤1,k∈Z.\boxed{x=\arcsin y+2\pi k,\qquad -1\le y\le1,\quad k\in\mathbb Z}.

Проверка

Для убывающих ветвейx=π−arcsin⁡y+2πk,−1≤y≤1,k∈Z.\boxed{x=\pi-\arcsin y+2\pi k,\qquad -1\le y\le1,\quad k\in\mathbb Z}.
Демидович № 770 — решение