Раздел I. Введение в анализ — § 8. Обратная функция. Функции, заданные параметрически

Демидович — задача 766

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Задача 766

Доказать, что если функция f(x)f(x) определена и строго монотонна на сегменте [a,b][a,b] иlim⁡n→∞f(xn)=f(a)(a≤xn≤b),\lim_{n\to\infty}f(x_n)=f(a)\qquad(a\le x_n\le b),тоlim⁡n→∞xn=a.\lim_{n\to\infty}x_n=a.

Доказательство

Идея

Рассмотрим сначала строго возрастающую функцию. Предположим, что xn↛ax_n\not\to a. Тогда существует ε>0\varepsilon>0 и бесконечная подпоследовательность xnkx_{n_k}, для которойxnk≥a+ε.x_{n_k}\ge a+\varepsilon.Можно считать a+ε≤ba+\varepsilon\le b. По строгой монотонностиf(xnk)≥f(a+ε)>f(a).f(x_{n_k})\ge f(a+\varepsilon)>f(a).Числа f(xnk)f(x_{n_k}) отделены от f(a)f(a) положительной величиной f(a+ε)−f(a)f(a+\varepsilon)-f(a), что противоречит условию f(xn)→f(a)f(x_n)\to f(a).
Если ff строго убывает, то при xnk≥a+εx_{n_k}\ge a+\varepsilonf(xnk)≤f(a+ε)<f(a),f(x_{n_k})\le f(a+\varepsilon)<f(a),и возникает то же противоречие.

Проверка

Следовательно,xn→a.\boxed{x_n\to a}.

Что и требовалось доказать

Демидович № 766 — решение