Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 5. Производные и дифференциалы высших порядков

Демидович — задача 1224

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Задача 1224

Доказать, что функция

f(x)=\begin{cases}x^{2n}\sin\dfrac1x,&x\ne0,\\[2mm]0,&x=0\end{cases}

(

n

— натуральное число) в точке

x=0

имеет производные до

n

-го порядка включительно и не имеет производной

(n+1)

-го порядка.

Доказательство

Идея

Производная функции

f(x)

при

x \ne 0

представляет собой сумму слагаемых вида

A x^m \sin(1/x)

B x^m \cos(1/x)

.
При каждом дифференцировании минимальная степень

x

уменьшается либо на

1

(за счёт дифференцирования степенной функции), либо на

2

(за счёт производной внутренней функции

(1/x)' = -1/x^2

).
Следовательно, после

k

последовательных дифференцирований наименьшая степень

x

в слагаемых будет равна

2n - 2k

1
Докажем по индукции, что для всех $k \le n$ производная в нуле существует и $f^{(k)}(0) = 0$ .
При $k=0$ по условию $f(0) = 0$ .
Пусть для некоторого $k \le n$ выполнено $f^{(k-1)}(0) = 0$ . Найдём производную $k$ -го порядка по определению $f^{(k)}(0) = \lim_{x \to 0} \frac{f^{(k-1)}(x) - 0}{x}$ Для $x \ne 0$ функция $f^{(k-1)}(x)$ является суммой слагаемых, где наименьшая степень $x$ равна $2n - 2(k-1) = 2n - 2k + 2$ .
Так как $k \le n$ , показатель степени строго больше нуля: $2n - 2k + 2 \ge 2$ . Поэтому после деления на $x$ все слагаемые в выражении $f^{(k-1)}(x)/x$ будут содержать $x$ в степени не ниже $1$ . Поскольку тригонометрические функции ограничены, предел при $x \to 0$ равен нулю $f^{(k)}(0) = 0$ Значит, производные вплоть до $n$ -го порядка в точке $x=0$ существуют и равны нулю.
2
Рассмотрим вид $n$ -й производной при $x \ne 0$ . Слагаемое с наименьшей степенью $x$ возникает, когда дифференцирование все $n$ раз применяется к тригонометрической части: $\left(\sin\frac{1}{x}\right)^{(n)} = \frac{(-1)^n}{x^{2n}} \sin\left(\frac{1}{x} + \frac{\pi n}{2}\right) + \dots$ Умножая на $x^{2n}$ , видим, что слагаемое с наименьшей степенью $x$ в $f^{(n)}(x)$ имеет нулевую степень ( $x^0 = 1$ ): $f^{(n)}(x) = (-1)^n \sin\left(\frac{1}{x} + \frac{\pi n}{2}\right) + x \psi(x)$ где $\psi(x)$ — ограниченная вблизи нуля функция, объединяющая все остальные слагаемые.

Проверка

Попытаемся вычислить

(n+1)

-ю производную в нуле

f^{(n+1)}(0) = \lim_{x \to 0} \frac{f^{(n)}(x) - f^{(n)}(0)}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{(-1)^n \sin\left(\frac{1}{x} + \frac{\pi n}{2}\right) + x \psi(x)}{x}

Первое слагаемое под пределом имеет вид

\frac{1}{x} \sin\left(\frac{1}{x} + \frac{\pi n}{2}\right)

. Эта функция неограниченно колеблется и принимает сколь угодно большие по модулю значения в любой окрестности нуля, поэтому предел не существует.
Таким образом, производной

(n+1)

-го порядка в точке

x=0

нет.

Что и требовалось доказать