Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 5. Производные и дифференциалы высших порядков

Демидович — задача 1233

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Пусть

\frac d{dx}=D

обозначает операцию дифференцирования и

f(D)=\sum_{k=0}^{n}p_k(x)D^k

— символический дифференциальный многочлен, где

p_k(x)

(k=0,1,\ldots,n)

— некоторые непрерывные функции от

x

.

Доказать, что

f(D)\{e^{\lambda x}u(x)\}=e^{\lambda x}f(D+\lambda)u(x)

где

\lambda

— постоянно.

Доказательство

Идея

Рассмотрим действие оператора

D^k

на произведение

e^{\lambda x}u(x)

. Применим формулу Лейбница для

k

-й производной:

D^k \{e^{\lambda x}u(x)\} = \sum_{j=0}^{k} \binom{k}{j} (e^{\lambda x})^{(k-j)} u^{(j)}(x)

Так как производная экспоненты равна

(e^{\lambda x})^{(k-j)} = \lambda^{k-j} e^{\lambda x}

, подставим это в сумму:

D^k \{e^{\lambda x}u(x)\} = \sum_{j=0}^{k} \binom{k}{j} \lambda^{k-j} e^{\lambda x} D^j u(x)

Вынесем

e^{\lambda x}

за знак суммы:

D^k \{e^{\lambda x}u(x)\} = e^{\lambda x} \sum_{j=0}^{k} \binom{k}{j} \lambda^{k-j} D^j u(x)

Заметим, что полученная сумма представляет собой биномиальное разложение оператора

(D+\lambda)^k

, применённого к функции

u(x)

. Поскольку операторы дифференцирования

D

и умножения на константу

\lambda

коммутируют, мы можем записать:

D^k \{e^{\lambda x}u(x)\} = e^{\lambda x} (D+\lambda)^k u(x)

Теперь применим полный оператор

f(D)

к функции

e^{\lambda x}u(x)

, используя свойство линейности:

f(D)\{e^{\lambda x}u(x)\} = \sum_{k=0}^{n} p_k(x) D^k \{e^{\lambda x}u(x)\}

Подставим найденное выражение для

D^k \{e^{\lambda x}u(x)\}

f(D)\{e^{\lambda x}u(x)\} = \sum_{k=0}^{n} p_k(x) e^{\lambda x} (D+\lambda)^k u(x)

Вынося

e^{\lambda x}

за знак общей суммы, получаем:

f(D)\{e^{\lambda x}u(x)\} = e^{\lambda x} \sum_{k=0}^{n} p_k(x) (D+\lambda)^k u(x)

Выражение под суммой по определению равно

f(D+\lambda)u(x)

, откуда окончательно имеем:

f(D)\{e^{\lambda x}u(x)\} = e^{\lambda x} f(D+\lambda)u(x)

Что и требовалось доказать