Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 5. Производные и дифференциалы высших порядков

Демидович — задача 1223

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Задача 1223

Найти f(n)(a)f^{(n)}(a), еслиf(x)=(x−a)nφ(x)f(x)=(x-a)^n\varphi(x)где функция φ(x)\varphi(x) имеет непрерывную производную (n−1)(n-1)-го порядка в окрестности точки aa.

Решение

Запишем функцию f(x)f(x) и найдём её производную (n−1)(n-1)-го порядка, используя формулу Лейбница. Поскольку функция φ(x)\varphi(x) имеет производные только до (n−1)(n-1)-го порядка, мы можем дифференцировать произведение только n−1n-1 разf(n−1)(x)=∑k=0n−1(n−1k)((x−a)n)(k)φ(n−1−k)(x)f^{(n-1)}(x) = \sum_{k=0}^{n-1} \binom{n-1}{k} \left((x-a)^n\right)^{(k)} \varphi^{(n-1-k)}(x)Производная kk-го порядка от (x−a)n(x-a)^n равна n!(n−k)!(x−a)n−k\frac{n!}{(n-k)!}(x-a)^{n-k}. Подставим это выражение в суммуf(n−1)(x)=∑k=0n−1(n−1k)n!(n−k)!(x−a)n−kφ(n−1−k)(x)f^{(n-1)}(x) = \sum_{k=0}^{n-1} \binom{n-1}{k} \frac{n!}{(n-k)!} (x-a)^{n-k} \varphi^{(n-1-k)}(x)Выделим слагаемое при k=n−1k=n-1, где степень множителя (x−a)(x-a) минимальна и равна 11f(n−1)(x)=n!(x−a)φ(x)+∑k=0n−2(n−1k)n!(n−k)!(x−a)n−kφ(n−1−k)(x)f^{(n-1)}(x) = n!(x-a)\varphi(x) + \sum_{k=0}^{n-2} \binom{n-1}{k} \frac{n!}{(n-k)!} (x-a)^{n-k} \varphi^{(n-1-k)}(x)Заметим, что все слагаемые под знаком суммы содержат множитель (x−a)(x-a) в степени не ниже 22. Поэтому f(n−1)(x)f^{(n-1)}(x) можно представить в видеf(n−1)(x)=n!(x−a)φ(x)+(x−a)2ψ(x)f^{(n-1)}(x) = n!(x-a)\varphi(x) + (x-a)^2 \psi(x)где функция ψ(x)\psi(x) непрерывна в окрестности точки aa. Отсюда сразу следует, что при x=ax=a значение f(n−1)(a)=0f^{(n-1)}(a) = 0.

Найдём производную nn-го порядка в точке aa по её определениюf(n)(a)=lim⁡x→af(n−1)(x)−f(n−1)(a)x−a=lim⁡x→an!(x−a)φ(x)+(x−a)2ψ(x)x−af^{(n)}(a) = \lim_{x \to a} \frac{f^{(n-1)}(x) - f^{(n-1)}(a)}{x - a} = \lim_{x \to a} \frac{n!(x-a)\varphi(x) + (x-a)^2 \psi(x)}{x - a}Сократив на x−ax-a, получимf(n)(a)=lim⁡x→a(n!φ(x)+(x−a)ψ(x))f^{(n)}(a) = \lim_{x \to a} \big( n!\varphi(x) + (x-a)\psi(x) \big)Так как функция φ(x)\varphi(x) имеет непрерывную производную, она сама является непрерывной в точке aa. Следовательно, переходя к пределу, находимf(n)(a)=n!φ(a)f^{(n)}(a) = n!\varphi(a)