Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 5. Производные и дифференциалы высших порядков

Демидович — задача 1231

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Задача 1231

Многочлены Чебышева–Эрмита определяются формулой

H_m(x)=(-1)^me^{x^2}(e^{-x^2})^{(m)}\qquad(m=0,1,2,\ldots)

Найти явное выражение для многочленов

H_m(x)

.

Доказать, что

H_m(x)

удовлетворяет уравнению

H_m''(x)-2xH_m'(x)+2mH_m(x)=0

Указание. Использовать равенство

u'+2xu=0

где

u=e^{-x^2}

Опирается на

Доказательство

Для нахождения явного выражения многочленов Чебышева--Эрмита воспользуемся формулой

n

-й производной сложной функции

f(x^2)

, которую мы доказали в задаче № :

\frac{d^m}{dx^m} f(x^2) = \sum_{k=0}^{\lfloor m/2 \rfloor} \frac{m!}{k!(m-2k)!} (2x)^{m-2k} f^{(m-k)}(x^2)

В нашем случае

f(t) = e^{-t}

. Тогда производная любого порядка

p

от функции

f(t)

равна

f^{(p)}(t) = (-1)^p e^{-t}

. Следовательно,

f^{(m-k)}(x^2) = (-1)^{m-k} e^{-x^2}

Подставим это в формулу для производной:

(e^{-x^2})^{(m)} = \sum_{k=0}^{\lfloor m/2 \rfloor} \frac{m!}{k!(m-2k)!} (2x)^{m-2k} (-1)^{m-k} e^{-x^2}

Теперь подставим найденную производную в исходное определение многочленов

H_m(x)

H_m(x) = (-1)^m e^{x^2} \left( \sum_{k=0}^{\lfloor m/2 \rfloor} \frac{m!}{k!(m-2k)!} (2x)^{m-2k} (-1)^{m-k} e^{-x^2} \right)

Экспоненты

e^{x^2}

e^{-x^2}

взаимно уничтожаются. Объединим множители

(-1)^m

(-1)^{m-k}

(-1)^m \cdot (-1)^{m-k} = (-1)^{2m-k} = (-1)^{-k} = (-1)^k

В итоге получаем явное аналитическое выражение для многочлена:

H_m(x) = \sum_{k=0}^{\lfloor m/2 \rfloor} (-1)^k \frac{m!}{k!(m-2k)!} (2x)^{m-2k}

В развёрнутом виде это можно записать так:

H_m(x) = (2x)^m - \frac{m(m-1)}{1!} (2x)^{m-2} + \frac{m(m-1)(m-2)(m-3)}{2!} (2x)^{m-4} - \dots

Теперь докажем, что полученный многочлен удовлетворяет заданному дифференциальному уравнению. Рассмотрим вспомогательную функцию

u = e^{-x^2}

. Её первая производная равна

u' = -2x e^{-x^2} = -2xu

, откуда следует тождество:

u' + 2xu = 0

Продифференцируем обе части этого тождества

m+1

раз, применяя формулу Лейбница. Для первого слагаемого это будет просто

u^{(m+2)}

. Для второго слагаемого

(2xu)^{(m+1)}

отличны от нуля только два члена:

2 \left( x u^{(m+1)} + (m+1) \cdot 1 \cdot u^{(m)} \right)

Приравнивая сумму к нулю, получаем уравнение для производных функции

u

u^{(m+2)} + 2x u^{(m+1)} + 2(m+1) u^{(m)} = 0

Выразим производные функции

u

через

H_m(x)

. По определению

H_m(x) = (-1)^m e^{x^2} u^{(m)}

, следовательно:

u^{(m)} = (-1)^m e^{-x^2} H_m(x)

Дифференцируя это выражение по

x

, последовательно находим:

u^{(m+1)} = (-1)^m \left( -2xe^{-x^2} H_m(x) + e^{-x^2} H_m'(x) \right) = (-1)^m e^{-x^2} \bigl( H_m'(x) - 2xH_m(x) \bigr)

u^{(m+2)} = (-1)^m \frac{d}{dx} \Bigl[ e^{-x^2} \bigl( H_m'(x) - 2xH_m(x) \bigr) \Bigr]

Вычислим производную в квадратных скобках:

-2xe^{-x^2} \bigl( H_m' - 2xH_m \bigr) + e^{-x^2} \bigl( H_m'' - 2H_m - 2xH_m' \bigr) = e^{-x^2} \bigl( H_m'' - 4xH_m' + (4x^2 - 2)H_m \bigr)

Отсюда:

u^{(m+2)} = (-1)^m e^{-x^2} \bigl( H_m'' - 4xH_m' + (4x^2 - 2)H_m \bigr)

Подставим найденные выражения для

u^{(m)}

u^{(m+1)}

u^{(m+2)}

в ранее выведенное уравнение:

(-1)^m e^{-x^2} \Bigl[ H_m'' - 4xH_m' + (4x^2-2)H_m + 2x(H_m' - 2xH_m) + 2(m+1)H_m \Bigr] = 0

Поскольку множитель

(-1)^m e^{-x^2}

никогда не равен нулю, на него можно сократить. Раскроем скобки в оставшемся выражении:

H_m'' - 4xH_m' + 4x^2H_m - 2H_m + 2xH_m' - 4x^2H_m + 2mH_m + 2H_m = 0

Приведём подобные слагаемые:

H_m'' + (-4x + 2x)H_m' + (4x^2 - 2 - 4x^2 + 2m + 2)H_m = 0

В результате приходим к искомому уравнению:

H_m''(x) - 2xH_m'(x) + 2mH_m(x) = 0

Тождество доказано.

Что и требовалось доказать