Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 5. Производные и дифференциалы высших порядков

Демидович — задача 1218

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Найти

n

-ю производную от функции

f(x)=\arctan x

Опирается на задачу 1217

Решение

Найдём первую производную заданной функции

f'(x) = \frac{1}{1+x^2}

Очевидно, что

n

-я производная функции

f(x)

представляет собой

(n-1)

-ю производную от её первой производной

f^{(n)}(x) = (f'(x))^{(n-1)} = \left(\frac{1}{1+x^2}\right)^{(n-1)}

Мы можем воспользоваться готовой формулой, строго доказанной в задаче 1217, заменив в ней порядок производной

n

на

n-1

\left(\frac{1}{x^2+1}\right)^{(n-1)} = \frac{(-1)^{n-1} (n-1)!}{(1+x^2)^{\frac{(n-1)+1}{2}}} \sin[((n-1)+1)\operatorname{arcctg}x]

Упрощая показатели степеней и коэффициенты внутри аргумента синуса, приходим к итоговому результату

f^{(n)}(x) = \frac{(-1)^{n-1} (n-1)!}{(1+x^2)^{\frac{n}{2}}} \sin(n\operatorname{arcctg}x)