Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 5. Производные и дифференциалы высших порядков

Демидович — задача 1218

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Задача 1218

Найти nn-ю производную от функцииf(x)=arctan⁡xf(x)=\arctan x

Опирается на

Решение

Найдём первую производную заданной функцииf′(x)=11+x2f'(x) = \frac{1}{1+x^2}По определению последовательных производных nn-я производная функции f(x)f(x) представляет собой (n−1)(n-1)-ю производную от её первой производнойf(n)(x)=(f′(x))(n−1)=(11+x2)(n−1)f^{(n)}(x) = (f'(x))^{(n-1)} = \left(\frac{1}{1+x^2}\right)^{(n-1)}Мы можем воспользоваться готовой формулой, строго доказанной в задаче , заменив в ней порядок производной nn на n−1n-1(1x2+1)(n−1)=(−1)n−1(n−1)!(1+x2)(n−1)+12sin⁡[((n−1)+1)arcctg⁡x]\left(\frac{1}{x^2+1}\right)^{(n-1)} = \frac{(-1)^{n-1} (n-1)!}{(1+x^2)^{\frac{(n-1)+1}{2}}} \sin[((n-1)+1)\operatorname{arcctg}x]Упрощая показатели степеней и коэффициенты внутри аргумента синуса, приходим к итоговому результатуf(n)(x)=(−1)n−1(n−1)!(1+x2)n2sin⁡(narcctg⁡x)f^{(n)}(x) = \frac{(-1)^{n-1} (n-1)!}{(1+x^2)^{\frac{n}{2}}} \sin(n\operatorname{arcctg}x)