Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 5. Производные и дифференциалы высших порядков

Демидович — задача 1221

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Задача и подробное решение по шагам.

Задача 1221

а) f(x)=cos⁡(marcsin⁡x);б) f(x)=sin⁡(marcsin⁡x)\text{а) }f(x)=\cos(m\arcsin x);
\qquad
\text{б) }f(x)=\sin(m\arcsin x)

Решение

  1. 1

    Пункт а)

    Пусть y=cos⁡(marcsin⁡x)y = \cos(m\arcsin x). Найдём первую производную:y′=−sin⁡(marcsin⁡x)⋅m1−x2  ⟹  1−x2y′=−msin⁡(marcsin⁡x)y' = -\sin(m\arcsin x) \cdot \frac{m}{\sqrt{1-x^2}} \implies \sqrt{1-x^2} y' = -m\sin(m\arcsin x)Возведём в квадрат обе части:(1−x2)(y′)2=m2sin⁡2(marcsin⁡x)=m2(1−cos⁡2(marcsin⁡x))=m2(1−y2)(1-x^2)(y')^2 = m^2 \sin^2(m\arcsin x) = m^2(1 - \cos^2(m\arcsin x)) = m^2(1 - y^2)Продифференцируем полученное уравнение по xx:−2x(y′)2+(1−x2)2y′y′′=−2m2yy′-2x(y')^2 + (1-x^2)2y'y'' = -2m^2yy'Разделим на 2y′2y' (считая y′≠0y' \ne 0 в проколотой окрестности):(1−x2)y′′−xy′+m2y=0(1-x^2)y'' - xy' + m^2y = 0Применим формулу Лейбница для нахождения nn-й производной этого тождества:(1−x2)y(n+2)−2nxy(n+1)−n(n−1)y(n)−xy(n+1)−ny(n)+m2y(n)=0(1-x^2)y^{(n+2)} - 2nx y^{(n+1)} - n(n-1)y^{(n)} - xy^{(n+1)} - ny^{(n)} + m^2y^{(n)} = 0(1−x2)y(n+2)−(2n+1)xy(n+1)+(m2−n2)y(n)=0(1-x^2)y^{(n+2)} - (2n+1)xy^{(n+1)} + (m^2 - n^2)y^{(n)} = 0Подставив x=0x = 0, получаем рекуррентную формулу:y(n+2)(0)=(n2−m2)y(n)(0)y^{(n+2)}(0) = (n^2 - m^2)y^{(n)}(0)Найдём начальные значения:y(0)=cos⁡0=1,y′(0)=−msin⁡0=0y(0) = \cos 0 = 1, \qquad y'(0) = -m\sin 0 = 0Так как y′(0)=0y'(0) = 0, все нечётные производные равны нулю:y(2k+1)(0)=0y^{(2k+1)}(0) = 0Для чётных производных:y′′(0)=(02−m2)y(0)=−m2y''(0) = (0^2 - m^2)y(0) = -m^2Раскрывая рекурсию для n=2kn = 2k, находим:y(2k)(0)=(−1)km2(m2−22)(m2−42)…(m2−(2k−2)2)(k≥1)y^{(2k)}(0) = (-1)^k m^2 (m^2-2^2)(m^2-4^2)\dots(m^2-(2k-2)^2) \qquad (k \ge 1)
  2. 2

    Пункт б)

    Пусть y=sin⁡(marcsin⁡x)y = \sin(m\arcsin x).y′=cos⁡(marcsin⁡x)⋅m1−x2  ⟹  1−x2y′=mcos⁡(marcsin⁡x)y' = \cos(m\arcsin x) \cdot \frac{m}{\sqrt{1-x^2}} \implies \sqrt{1-x^2} y' = m\cos(m\arcsin x)Возводим в квадрат:(1−x2)(y′)2=m2cos⁡2(marcsin⁡x)=m2(1−sin⁡2(marcsin⁡x))=m2(1−y2)(1-x^2)(y')^2 = m^2\cos^2(m\arcsin x) = m^2(1 - \sin^2(m\arcsin x)) = m^2(1 - y^2)Мы получили в точности такое же дифференциальное уравнение, как и в пункте а):(1−x2)y′′−xy′+m2y=0  ⟹  y(n+2)(0)=(n2−m2)y(n)(0)(1-x^2)y'' - xy' + m^2y = 0 \implies y^{(n+2)}(0) = (n^2 - m^2)y^{(n)}(0)Однако начальные значения теперь другие:y(0)=sin⁡0=0,y′(0)=mcos⁡0=my(0) = \sin 0 = 0, \qquad y'(0) = m\cos 0 = mТак как y(0)=0y(0) = 0, все чётные производные равны нулю:y(2k)(0)=0y^{(2k)}(0) = 0Для нечётных производных:y′′′(0)=(12−m2)y′(0)=m(12−m2)y'''(0) = (1^2 - m^2)y'(0) = m(1^2 - m^2)Для произвольного нечётного порядка n=2k+1n = 2k+1:y(2k+1)(0)=(−1)km(m2−12)(m2−32)…(m2−(2k−1)2)(k≥1)y^{(2k+1)}(0) = (-1)^k m (m^2-1^2)(m^2-3^2)\dots(m^2-(2k-1)^2) \qquad (k \ge 1)
Демидович № 1221 — решение