Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 5. Производные и дифференциалы высших порядков

Демидович — задача 1232

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Доказать равенство

\left(x^{n-1}e^{\frac1x}\right)^{(n)}=\frac{(-1)^n}{x^{n+1}}e^{\frac1x}

Указание. Применить метод математической индукции.

Доказательство

Проведём доказательство методом математической индукции по числу

n

При

n=1

имеем:

\left(x^0 e^{\frac1x}\right)' = \left(e^{\frac1x}\right)' = e^{\frac1x} \cdot \left(-\frac{1}{x^2}\right) = \frac{-1}{x^2} e^{\frac1x}

Формула даёт тот же результат:

\frac{(-1)^1}{x^{1+1}} e^{\frac1x} = \frac{-1}{x^2} e^{\frac1x}

База индукции верна.

Предположим, что равенство справедливо для некоторого натурального

k

\left(x^{k-1} e^{\frac1x}\right)^{(k)} = \frac{(-1)^k}{x^{k+1}} e^{\frac1x}

Докажем его справедливость для

n = k+1

. Рассмотрим функцию

x^k e^{\frac1x}

и представим её в виде произведения

x \cdot (x^{k-1} e^{\frac1x})

. Найдём её

(k+1)

-ю производную, используя формулу Лейбница:

\left(x \cdot x^{k-1}e^{\frac1x}\right)^{(k+1)} = x \cdot \left(x^{k-1}e^{\frac1x}\right)^{(k+1)} + (k+1) \cdot 1 \cdot \left(x^{k-1}e^{\frac1x}\right)^{(k)}

По индукционному предположению мы знаем

k

-ю производную. Найдём

(k+1)

-ю производную функции

x^{k-1} e^{\frac1x}

, продифференцировав

k

-ю:

\left(x^{k-1}e^{\frac1x}\right)^{(k+1)} = \left( \frac{(-1)^k}{x^{k+1}} e^{\frac1x} \right)' = (-1)^k \left( -(k+1)x^{-k-2} e^{\frac1x} + x^{-k-1} e^{\frac1x} \left(-\frac{1}{x^2}\right) \right)

Вынесем общий множитель

e^{\frac1x}

\left(x^{k-1}e^{\frac1x}\right)^{(k+1)} = (-1)^k e^{\frac1x} \left( \frac{-(k+1)}{x^{k+2}} - \frac{1}{x^{k+3}} \right)

Подставим это в разложение по формуле Лейбница:

\left(x^k e^{\frac1x}\right)^{(k+1)} = x \cdot (-1)^k e^{\frac1x} \left( \frac{-(k+1)}{x^{k+2}} - \frac{1}{x^{k+3}} \right) + (k+1) \frac{(-1)^k}{x^{k+1}} e^{\frac1x}

Раскроем скобки:

\left(x^k e^{\frac1x}\right)^{(k+1)} = (-1)^k e^{\frac1x} \left( \frac{-(k+1)}{x^{k+1}} - \frac{1}{x^{k+2}} + \frac{k+1}{x^{k+1}} \right)

Слагаемые

\frac{-(k+1)}{x^{k+1}}

\frac{k+1}{x^{k+1}}

взаимно уничтожаются, остаётся:

(-1)^k e^{\frac1x} \left( - \frac{1}{x^{k+2}} \right) = \frac{(-1)^{k+1}}{x^{k+2}} e^{\frac1x}

Мы получили в точности исходную формулу для

n=k+1

. Индукционный переход доказан. Согласно принципу математической индукции, равенство справедливо для любого натурального

n

Проверка

Равенство рассматривается при

x\ne0

, где определена замена

t=1/x

, и при существовании всех указанных производных.

Что и требовалось доказать