Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 5. Производные и дифференциалы высших порядков

Демидович — задача 1220

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Найти f(n)(0)f^{(n)}(0) для функций:

Задача 1220

а) f(x)=x2eax;б) f(x)=arctan⁡x;в) f(x)=arcsin⁡x\text{а) }f(x)=x^2e^{ax};
\qquad
\text{б) }f(x)=\arctan x;
\qquad
\text{в) }f(x)=\arcsin x

Решение

Используем формулу Лейбница и уже найденную производную арктангенса. Для арксинуса получим рекуррентную связь между производными.
а) По формуле Лейбница(x2eax)(n)=∑j=0n(nj)(x2)(j)(eax)(n−j).(x^2e^{ax})^{(n)}=\sum_{j=0}^n\binom nj(x^2)^{(j)}(e^{ax})^{(n-j)}.В точке 00 множители (x2)(0)(x^2)^{(0)} и (x2)′(x^2)' равны нулю, (x2)′′=2(x^2)''=2, а следующие производные тождественно нулевые. Поэтому при n≥2n\ge2 остаётся только член j=2j=2:f(n)(0)=(n2) 2an−2=n(n−1)an−2.f^{(n)}(0)=\binom n2\,2a^{n-2}=n(n-1)a^{n-2}.При n=2n=2 результат равен 22 независимо от aa. При a=0a=0 все производные порядка n≥3n\ge3 равны нулю. Кроме того, f(0)=f′(0)=0f(0)=f'(0)=0.

б) Из №1218, поскольку arcctg⁡0=π/2\operatorname{arcctg}0=\pi/2, при n≥1n\ge1f(n)(0)=(−1)n−1(n−1)!sin⁡(nπ/2).f^{(n)}(0)=(-1)^{n-1}(n-1)!\sin(n\pi/2).При n=2kn=2k синус равен нулю; при n=2k+1n=2k+1 он равен (−1)k(-1)^k, а (−1)n−1=1(-1)^{n-1}=1. Следовательно,f(2k)(0)=0,f(2k+1)(0)=(−1)k(2k)!,k≥0.f^{(2k)}(0)=0,\qquad f^{(2k+1)}(0)=(-1)^k(2k)!,\qquad k\ge0.Равенство для k=0k=0 в первой формуле означает f(0)=0f(0)=0.

в) При ∣x∣<1|x|<1 имеем f′=(1−x2)−1/2f'=(1-x^2)^{-1/2}, f′′=x(1−x2)−3/2f''=x(1-x^2)^{-3/2}, откуда(1−x2)f′′−xf′=0.(1-x^2)f''-xf'=0.Дифференцируем это равенство jj раз. У множителя 1−x21-x^2 ненулевые производные только первых двух порядков, а у xx — только первого. Формула Лейбница даёт(1−x2)f(j+2)−2jxf(j+1)−j(j−1)f(j)−xf(j+1)−jf(j)=0.(1-x^2)f^{(j+2)}-2jx f^{(j+1)}-j(j-1)f^{(j)}
-xf^{(j+1)}-j f^{(j)}=0.Здесь коэффициенты при f(j)f^{(j)} складываются в −j(j−1)−j=−j2-j(j-1)-j=-j^2, а при xf(j+1)xf^{(j+1)} — в −(2j+1)-(2j+1). При j=0,1j=0,1 отсутствующие члены просто не включаются; итоговое равенство остаётся верным. Подставляя x=0x=0, получаемf(j+2)(0)=j2f(j)(0).f^{(j+2)}(0)=j^2 f^{(j)}(0).Начальные значения — f(0)=0f(0)=0, f′(0)=1f'(0)=1. Поэтому все чётные производные равны нулю, а нечётные последовательно умножаются на 12,32,52,…1^2,3^2,5^2,\ldots:f(2k)(0)=0,f(2k+1)(0)=(1⋅3⋯(2k−1))2=((2k−1)!!)2.f^{(2k)}(0)=0,\qquad f^{(2k+1)}(0)=(1\cdot3\cdots(2k-1))^2=((2k-1)!!)^2.При k=0k=0 пустое произведение равно 11.
Демидович № 1220 — решение | Высшая математика — Профиматика