Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 5. Производные и дифференциалы высших порядков

Демидович — задача 1220

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Задача и подробное решение по шагам.

Задача 1220

\text{а) }f(x)=x^2e^{ax};\qquad\text{б) }f(x)=\arctan x;\qquad\text{в) }f(x)=\arcsin x

Решение

Идея

Для вычисления производных в нуле будем использовать разложение функций в ряд Маклорена и равенство коэффициентов

\frac{f^{(n)}(0)}{n!}

1
Пункт а)
Разложим $e^{ax}$ в ряд Маклорена и домножим на $x^2$ : $f(x) = x^2 \sum_{k=0}^\infty \frac{a^k}{k!} x^k = \sum_{k=0}^\infty \frac{a^k}{k!} x^{k+2}$ Обозначим $n = k+2$ , тогда при $n \ge 2$ коэффициент при $x^n$ равен: $\frac{a^{n-2}}{(n-2)!} = \frac{f^{(n)}(0)}{n!}$ Выразим производную: $f^{(n)}(0) = \frac{n! a^{n-2}}{(n-2)!} = n(n-1)a^{n-2} \qquad (n \ge 2)$ При $n=0$ и $n=1$ производные в нуле равны $0$ .
2
Пункт б)
Разложение арктангенса в ряд Маклорена: $f(x) = \arctan x = \sum_{k=0}^\infty (-1)^k \frac{x^{2k+1}}{2k+1}$ Поскольку ряд содержит только нечётные степени $x$ , все чётные производные равны нулю: $f^{(2k)}(0) = 0$ Для нечётных производных (порядок $n = 2k+1$ ): $\frac{f^{(2k+1)}(0)}{(2k+1)!} = \frac{(-1)^k}{2k+1} \implies f^{(2k+1)}(0) = (-1)^k \frac{(2k+1)!}{2k+1} = (-1)^k (2k)!$
3
Пункт в)
Стандартное разложение арксинуса в ряд: $f(x) = \arcsin x = x + \sum_{k=1}^\infty \frac{(2k-1)!!}{(2k)!!} \frac{x^{2k+1}}{2k+1} = \sum_{k=0}^\infty \frac{(2k-1)!!}{(2k)!! (2k+1)} x^{2k+1}$ где полагается $(-1)!! = 1$ и $0!! = 1$ .
Чётные производные отсутствуют: $f^{(2k)}(0) = 0$ Для нечётных производных приравниваем коэффициенты: $\frac{f^{(2k+1)}(0)}{(2k+1)!} = \frac{(2k-1)!!}{(2k)!! (2k+1)} \implies f^{(2k+1)}(0) = \frac{(2k+1)!}{2k+1} \frac{(2k-1)!!}{(2k)!!} = (2k)! \frac{(2k-1)!!}{(2k)!!}$ Учитывая, что $(2k)! = (2k)!! (2k-1)!!$ , получаем окончательный ответ: $f^{(2k+1)}(0) = ((2k-1)!!)^2$