Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 5. Производные и дифференциалы высших порядков

Демидович — задача 1217

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Еслиf(x)=f1(x)+if2(x),f(x)=f_1(x)+if_2(x),где ii — мнимая единица и f1(x),f2(x)f_1(x),f_2(x) — действительные функции от действительной переменной xx, то по определению принимаем:f′(x)=f1′(x)+if2′(x).f'(x)=f_1'(x)+if_2'(x).

Задача 1217

Используя тождество1x2+1=12i(1x−i−1x+i)\frac1{x^2+1}=\frac1{2i}\left(\frac1{x-i}-\frac1{x+i}\right)доказать, что(1x2+1)(n)=(−1)nn!(1+x2)n+12sin⁡[(n+1)arcctg⁡x]\left(\frac1{x^2+1}\right)^{(n)}
=\frac{(-1)^nn!}{(1+x^2)^{\frac{n+1}{2}}}
\sin[(n+1)\operatorname{arcctg}x]

Доказательство

Используем линейность операции дифференцирования и возьмём nn-ю производную от обеих частей предложенного тождества

Дифференцирование дроби

(1x2+1)(n)=12i[((x−i)−1)(n)−((x+i)−1)(n)]\left(\frac{1}{x^2+1}\right)^{(n)} = \frac{1}{2i} \left[ \left((x-i)^{-1}\right)^{(n)} - \left((x+i)^{-1}\right)^{(n)} \right]Для комплексной постоянной c=±ic=\pm i правило дифференцирования обратной величины остаётся справедливым: при действительном hh(x+h−c)−1−(x−c)−1h=−1(x+h−c)(x−c)⟶−1(x−c)2.\frac{(x+h-c)^{-1}-(x-c)^{-1}}h=-\frac1{(x+h-c)(x-c)}\longrightarrow-\frac1{(x-c)^2}.Правило произведения также следует покомпонентно из определения; повторное дифференцирование поэтому даёт ту же формулу, что и для действительной постоянной. Воспользуемся формулой для nn-й производной функции вида (x−a)−1(x-a)^{-1}, которая равна (−1)nn!(x−a)−n−1(-1)^n n! (x-a)^{-n-1}(1x2+1)(n)=12i[(−1)nn!(x−i)n+1−(−1)nn!(x+i)n+1]=(−1)nn!2i[(x−i)−(n+1)−(x+i)−(n+1)]\left(\frac{1}{x^2+1}\right)^{(n)} = \frac{1}{2i} \left[ \frac{(-1)^n n!}{(x-i)^{n+1}} - \frac{(-1)^n n!}{(x+i)^{n+1}} \right] = \frac{(-1)^n n!}{2i} \left[ (x-i)^{-(n+1)} - (x+i)^{-(n+1)} \right]

Тригонометрическая форма

Для возведения комплексных чисел в степень перейдём к тригонометрической форме записи. Введём угол φ=arcctg⁡x\varphi = \operatorname{arcctg} x, тогда x=ctg⁡φx = \operatorname{ctg} \varphi.
Рассмотрим комплексное число x+ix + i и выразим его через φ\varphix±i=ctg⁡φ±i=cos⁡φsin⁡φ±i=cos⁡φ±isin⁡φsin⁡φx \pm i = \operatorname{ctg} \varphi \pm i = \frac{\cos\varphi}{\sin\varphi} \pm i = \frac{\cos\varphi \pm i\sin\varphi}{\sin\varphi}Выразим синус через исходную переменную. Поскольку φ=arcctg⁡x∈(0,π)\varphi=\operatorname{arcctg}x\in(0,\pi), имеем sin⁡φ>0\sin\varphi>0. Из 1+ctg⁡2φ=1/sin⁡2φ1+\operatorname{ctg}^2\varphi=1/\sin^2\varphi получаем sin⁡φ=1/1+x2\sin\varphi=1/\sqrt{1+x^2}. Тогда1sin⁡φ=x2+1\frac{1}{\sin\varphi} = \sqrt{x^2+1}Подставим это в тригонометрическую форму числа x±ix \pm ix±i=x2+1(cos⁡φ±isin⁡φ)x \pm i = \sqrt{x^2+1} (\cos\varphi \pm i\sin\varphi)

Подстановка и результат

Применим формулу Муавра для возведения в отрицательную степень −(n+1)-(n+1)(x±i)−(n+1)=(x2+1)−(n+1)(cos⁡(−(n+1)φ)±isin⁡(−(n+1)φ))(x \pm i)^{-(n+1)} = (\sqrt{x^2+1})^{-(n+1)} \Big( \cos\big(-(n+1)\varphi\big) \pm i\sin\big(-(n+1)\varphi\big) \Big)Учитывая чётность косинуса и нечётность синуса, получим(x±i)−(n+1)=(x2+1)−n+12(cos⁡((n+1)φ)∓isin⁡((n+1)φ))(x \pm i)^{-(n+1)} = (x^2+1)^{-\frac{n+1}{2}} \Big( \cos((n+1)\varphi) \mp i\sin((n+1)\varphi) \Big)Подставим найденные выражения обратно в формулу для nn-й производной(1x2+1)(n)=(−1)nn!2i(x2+1)−n+12[(cos⁡((n+1)φ)+isin⁡((n+1)φ))−(cos⁡((n+1)φ)−isin⁡((n+1)φ))]\left(\frac{1}{x^2+1}\right)^{(n)} = \frac{(-1)^n n!}{2i} (x^2+1)^{-\frac{n+1}{2}} \Big[ \big(\cos((n+1)\varphi) + i\sin((n+1)\varphi)\big) - \big(\cos((n+1)\varphi) - i\sin((n+1)\varphi)\big) \Big]Приведя подобные в квадратных скобках, получаем 2isin⁡((n+1)φ)2i\sin((n+1)\varphi). Множитель 2i2i сокращается со знаменателем(1x2+1)(n)=(−1)nn!(x2+1)n+12sin⁡((n+1)φ)\left(\frac{1}{x^2+1}\right)^{(n)} = \frac{(-1)^n n!}{(x^2+1)^{\frac{n+1}{2}}} \sin((n+1)\varphi)Возвращаясь к исходной переменной φ=arcctg⁡x\varphi = \operatorname{arcctg} x, получаем требуемое тождество(1x2+1)(n)=(−1)nn!(1+x2)n+12sin⁡[(n+1)arcctg⁡x]\left(\frac{1}{x^2+1}\right)^{(n)} = \frac{(-1)^n n!}{(1+x^2)^{\frac{n+1}{2}}} \sin[(n+1)\operatorname{arcctg}x]

Что и требовалось доказать