Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 5. Производные и дифференциалы высших порядков

Демидович — задача 1226

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Доказать, что многочлены Чебышева

T_m(x)=\frac1{2^{m-1}}\cos(m\arccos x)\qquad(m=1,2,\ldots)

удовлетворяют уравнению

(1-x^2)T_m''(x)-xT_m'(x)+m^2T_m(x)=0.

Доказательство

Пусть

y = \cos(m\arccos x)

. Тогда заданный многочлен Чебышева можно записать в виде

T_m(x) = C y

, где константа

C = \frac{1}{2^{m-1}}

. Поскольку рассматриваемое дифференциальное уравнение является линейным и однородным, постоянный множитель

C

в итоге сократится, поэтому достаточно показать, что уравнению удовлетворяет сама функция

y

Найдём первую производную функции

y

по переменной

x

, используя правило дифференцирования сложной функции:

y' = -\sin(m\arccos x) \cdot m \cdot \left( -\frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \right) = \frac{m\sin(m\arccos x)}{\sqrt{1-x^2}}

Умножим обе части полученного равенства на

\sqrt{1-x^2}

y'\sqrt{1-x^2} = m\sin(m\arccos x)

Продифференцируем обе части этого равенства по

x

y''\sqrt{1-x^2} + y' \cdot \frac{-x}{\sqrt{1-x^2}} = m\cos(m\arccos x) \cdot m \cdot \left( -\frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \right)

Умножим обе части на

\sqrt{1-x^2}

, чтобы избавиться от знаменателей:

y''(1-x^2) - xy' = -m^2\cos(m\arccos x)

Заметим, что

\cos(m\arccos x) = y

. Сделав соответствующую замену и перенеся все слагаемые в левую часть, получим:

(1-x^2)y'' - xy' + m^2y = 0

Умножая это уравнение на константу

C = \frac{1}{2^{m-1}}

, окончательно приходим к выводу, что многочлены Чебышева

T_m(x)

удовлетворяют требуемому дифференциальному уравнению:

(1-x^2)T_m''(x) - xT_m'(x) + m^2T_m(x) = 0

Проверка

Вычисления проведены при

-1<x<1

. Почему результат относится к многочленам? Если

Q_m(x)=\cos(m\arccos x)

, формула сложения косинусов даёт

Q_{m+1}=2xQ_m-Q_{m-1}

, причём

Q_0=1

Q_1=x

. Индукция показывает, что все

Q_m

— многочлены. Левая часть доказанного равенства поэтому также многочлен. Он обращается в нуль при всех

x\in(-1,1)

; ненулевой многочлен имеет лишь конечное число корней. Значит, равенство тождественно и верно для продолжений многочленов на всю вещественную ось.

Что и требовалось доказать