Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 5. Производные и дифференциалы высших порядков

Демидович — задача 1219

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Задача и подробное решение по шагам.

Задача 1219

\text{а) }f(x)=\frac1{(1-2x)(1+x)};\qquad\text{б) }f(x)=\frac{x}{\sqrt{1-x}}

Решение

1
Пункт а)
Разложим функцию на простейшие дроби методом неопределённых коэффициентов: $f(x) = \frac{1}{(1-2x)(1+x)} = \frac{A}{1-2x} + \frac{B}{1+x}$ Отсюда получаем тождество $A(1+x) + B(1-2x) = 1$ . При $x = -1$ находим $3B = 1 \implies B = \frac{1}{3}$ . При $x = \frac{1}{2}$ находим $\frac{3}{2}A = 1 \implies A = \frac{2}{3}$ . $f(x) = \frac{2}{3}(1-2x)^{-1} + \frac{1}{3}(1+x)^{-1}$ Запишем $n$ -ю производную, используя формулу $((kx+b)^{-1})^{(n)} = (-1)^n n! k^n (kx+b)^{-n-1}$ : $f^{(n)}(x) = \frac{2}{3} (-1)^n n! (-2)^n (1-2x)^{-n-1} + \frac{1}{3} (-1)^n n! (1)^n (1+x)^{-n-1}$ $f^{(n)}(x) = \frac{n!}{3} \left[ 2^{n+1}(1-2x)^{-n-1} + (-1)^n (1+x)^{-n-1} \right]$ Подставим $x = 0$ и получим ответ: $f^{(n)}(0) = \frac{n!}{3} \left( 2^{n+1} + (-1)^n \right)$
2
Пункт б)
Используем разложение функции в ряд Маклорена. Известно биномиальное разложение для $(1-x)^{-1/2}$ : $(1-x)^{-1/2} = \sum_{k=0}^\infty \binom{-1/2}{k} (-x)^k$ Преобразуем коэффициенты разложения: $\binom{-1/2}{k} (-1)^k = \frac{\left(-\frac{1}{2}\right)\left(-\frac{3}{2}\right)\dots\left(-\frac{2k-1}{2}\right)}{k!} (-1)^k = \frac{(2k-1)!!}{2^k k!}$ Домножив на $x$ , получим разложение нашей функции: $f(x) = x(1-x)^{-1/2} = \sum_{k=0}^\infty \frac{(2k-1)!!}{2^k k!} x^{k+1}$ С другой стороны, ряд Маклорена для $f(x)$ имеет вид: $f(x) = \sum_{n=0}^\infty \frac{f^{(n)}(0)}{n!} x^n$ Сделаем замену $n = k+1$ в первой сумме. Тогда при $n \ge 1$ коэффициент при $x^n$ равен: $\frac{(2n-3)!!}{2^{n-1} (n-1)!} = \frac{f^{(n)}(0)}{n!}$ Отсюда находим $n$ -ю производную в нуле: $f^{(n)}(0) = \frac{n! (2n-3)!!}{2^{n-1} (n-1)!} = \frac{n(2n-3)!!}{2^{n-1}} \qquad (n \ge 1)$ При $n=0$ значение $f(0) = 0$ . (Для $n=1$ традиционно полагают $(-1)!! = 1$ ).