Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 5. Производные и дифференциалы высших порядков

Демидович — задача 1219

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Найти

f^{(n)}(0)

для функций:

\text{а) }f(x)=\frac1{(1-2x)(1+x)};\qquad\text{б) }f(x)=\frac{x}{\sqrt{1-x}}

Решение

Разложим функцию на простейшие дроби методом неопределённых коэффициентов:

f(x) = \frac{1}{(1-2x)(1+x)} = \frac{A}{1-2x} + \frac{B}{1+x}

Отсюда получаем тождество

A(1+x) + B(1-2x) = 1

. При

x = -1

находим

3B = 1 \implies B = \frac{1}{3}

. При

x = \frac{1}{2}

находим

\frac{3}{2}A = 1 \implies A = \frac{2}{3}

f(x) = \frac{2}{3}(1-2x)^{-1} + \frac{1}{3}(1+x)^{-1}

Запишем

n

-ю производную, используя формулу

((kx+b)^{-1})^{(n)} = (-1)^n n! k^n (kx+b)^{-n-1}

f^{(n)}(x) = \frac{2}{3} (-1)^n n! (-2)^n (1-2x)^{-n-1} + \frac{1}{3} (-1)^n n! (1)^n (1+x)^{-n-1}

f^{(n)}(x) = \frac{n!}{3} \left[ 2^{n+1}(1-2x)^{-n-1} + (-1)^n (1+x)^{-n-1} \right]

Подставим

x = 0

и получим ответ:

f^{(n)}(0) = \frac{n!}{3} \left( 2^{n+1} + (-1)^n \right)

Положим

g(x)=(1-x)^{-1/2}

, так что

f=xg

. По правилу производной степени

g'=\tfrac12(1-x)^{-3/2},\qquadg^{(k)}(x)=\frac{1\cdot3\cdots(2k-1)}{2^k}(1-x)^{-k-1/2}.

Последняя формула доказывается индукцией: следующее дифференцирование добавляет множитель

k+1/2=(2k+1)/2

. При

k=0

коэффициент равен

1

.
В формуле Лейбница для

xg

производные

x

выше первой исчезают, поэтому при

n\ge1

f^{(n)}(x)=xg^{(n)}(x)+n g^{(n-1)}(x).

Подставляем

x=0

f^{(n)}(0)=n\frac{1\cdot3\cdots(2n-3)}{2^{n-1}}=\frac{n(2n-3)!!}{2^{n-1}}.

При

n=1

произведение пустое и равно

1

, так что

f'(0)=1

. Значение самой функции

f(0)=0