Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 5. Производные и дифференциалы высших порядков

Демидович — задача 1222

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Задача и подробное решение по шагам.

Задача 1222

\text{а) }f(x)=(\arctan x)^2;\qquad\text{б) }f(x)=(\arcsin x)^2

Опирается на задачу 1220

Решение

1
Пункт а)
Пусть $y = (\arctan x)^2$ . Найдём первую производную: $y' = 2\arctan x \cdot \frac{1}{1+x^2} \implies (1+x^2)y' = 2\arctan x$ Продифференцируем это выражение $(n-1)$ раз по формуле Лейбница (для $n \ge 2$ ): $(1+x^2)y^{(n)} + (n-1)2xy^{(n-1)} + (n-1)(n-2)y^{(n-2)} = 2(\arctan x)^{(n-1)}$ Подставим $x = 0$ : $y^{(n)}(0) + (n-1)(n-2)y^{(n-2)}(0) = 2 \left. (\arctan x)^{(n-1)} \right|_{x=0}$ Начальные значения функции: $y(0) = 0$ и $y'(0) = 0$ .
Из задачи 1220 б) мы знаем, что все чётные производные арктангенса в нуле равны нулю. Следовательно, для нечётного порядка $n = 2k+1$ правая часть равна нулю, и мы получаем однородную рекурсию. Так как $y'(0) = 0$ , все нечётные производные функции $y$ равны нулю: $y^{(2k+1)}(0) = 0$ Для чётных порядков $n = 2k$ правая часть содержит нечётную производную арктангенса: $y^{(2k)}(0) + (2k-1)(2k-2)y^{(2k-2)}(0) = 2(-1)^{k-1}(2k-2)!$ Разделим обе части на $(2k-1)!$ и введём замену $w_k = \frac{y^{(2k)}(0)}{(2k-1)!}$ : $w_k + w_{k-1} = \frac{2(-1)^{k-1}}{2k-1}$ Умножив на $(-1)^{k-1}$ , перейдём к $v_k = (-1)^{k-1} w_k$ : $v_k - v_{k-1} = \frac{2}{2k-1}$ Поскольку $y''(0) = 2$ , находим $v_1 = 2$ . Решая разностное уравнение, получаем: $v_k = 2\sum_{m=1}^k \frac{1}{2m-1} \implies y^{(2k)}(0) = (-1)^{k-1} 2(2k-1)! \left( 1 + \frac{1}{3} + \dots + \frac{1}{2k-1} \right)$
2
Пункт б)
Пусть $y = (\arcsin x)^2$ . Найдём первую производную: $y' = 2\arcsin x \cdot \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \implies \sqrt{1-x^2} y' = 2\arcsin x$ Возведём в квадрат: $(1-x^2)(y')^2 = 4(\arcsin x)^2 = 4y$ Продифференцируем по $x$ : $-2x(y')^2 + (1-x^2)2y'y'' = 4y' \implies (1-x^2)y'' - xy' - 2 = 0$ Применим формулу Лейбница, продифференцировав $n$ раз: $(1-x^2)y^{(n+2)} - 2nx y^{(n+1)} - n(n-1)y^{(n)} - xy^{(n+1)} - ny^{(n)} = 0$ $(1-x^2)y^{(n+2)} - (2n+1)xy^{(n+1)} - n^2y^{(n)} = 0$ При $x = 0$ получаем рекурсию: $y^{(n+2)}(0) = n^2 y^{(n)}(0)$ Начальные значения: $y(0) = 0$ , $y'(0) = 0$ . Из уравнения $(1-x^2)y'' - xy' - 2 = 0$ при $x=0$ следует $y''(0) = 2$ .
Так как $y'(0) = 0$ , все нечётные производные равны нулю: $y^{(2k+1)}(0) = 0$ Для чётных производных последовательно применяем рекуррентную формулу $y^{(2k)}(0) = (2k-2)^2 y^{(2k-2)}(0)$ : $y^{(2k)}(0) = (2k-2)^2 \cdot (2k-4)^2 \cdots 2^2 \cdot y''(0) = 2 \cdot \left( 2^{k-1} (k-1)! \right)^2 = 2^{2k-1} ((k-1)!)^2$