Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 5. Производные и дифференциалы высших порядков

Демидович — задача 1211

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Найти dnyd^ny, считая xx независимой переменной:

Задача 1211

y=xnexy=x^ne^x

Решение

Так как xx является независимой переменной, дифференциал nn-го порядка вычисляется по формуле
dny=y(n)dxnd^ny = y^{(n)} dx^nПрименим формулу Лейбница для производной произведения двух функций u=xnu = x^n и v=exv = e^xy(n)=∑k=0n(nk)u(n−k)v(k)y^{(n)} = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} u^{(n-k)} v^{(k)}Производные функции v=exv = e^x любого порядка равны exe^x.
Производные функции u=xnu = x^n порядка n−kn-k (где 0≤k≤n0 \le k \le n) имеют вид(xn)(n−k)=n(n−1)…(k+1)xk=n!k!xk(x^n)^{(n-k)} = n(n-1)\dots(k+1)x^k = \frac{n!}{k!} x^kПодставим эти производные в разложение Лейбницаy(n)=∑k=0n(nk)n!k!xkex=ex∑k=0nn!k!(n−k)!n!k!xky^{(n)} = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} \frac{n!}{k!} x^k e^x = e^x \sum_{k=0}^n \frac{n!}{k!(n-k)!} \frac{n!}{k!} x^kУпростим коэффициенты под знаком суммыy(n)=ex∑k=0n(n!)2(k!)2(n−k)!xky^{(n)} = e^x \sum_{k=0}^n \frac{(n!)^2}{(k!)^2 (n-k)!} x^kУмножая полученную nn-ю производную на dxndx^n, записываем итоговое выражение для дифференциалаdny=ex∑k=0n(n!)2(k!)2(n−k)!xkdxnd^ny = e^x \sum_{k=0}^n \frac{(n!)^2}{(k!)^2 (n-k)!} x^k dx^n