Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 5. Производные и дифференциалы высших порядков

Демидович — задача 1213

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Задача 1213

Доказать равенства:1)[eaxsin⁡(bx+c)](n)=eax(a2+b2)n2sin⁡(bx+c+nφ)1)\quad [e^{ax}\sin(bx+c)]^{(n)}
=e^{ax}(a^2+b^2)^{\frac n2}\sin(bx+c+n\varphi)2)[eaxcos⁡(bx+c)](n)=eax(a2+b2)n2cos⁡(bx+c+nφ)2)\quad [e^{ax}\cos(bx+c)]^{(n)}
=e^{ax}(a^2+b^2)^{\frac n2}\cos(bx+c+n\varphi)гдеsin⁡φ=ba2+b2,cos⁡φ=aa2+b2\sin\varphi=\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}},
\qquad
\cos\varphi=\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}

Доказательство

Докажем данные равенства методом математической индукции. Обозначим r=a2+b2r = \sqrt{a^2+b^2}. Тогда, по условию, a=rcos⁡φa = r\cos\varphi и b=rsin⁡φb = r\sin\varphi.

База индукции — первое равенство

Найдём первую производную функции y=eaxsin⁡(bx+c)y = e^{ax}\sin(bx+c), применяя правило дифференцирования произведения:y′=aeaxsin⁡(bx+c)+beaxcos⁡(bx+c)y' = a e^{ax}\sin(bx+c) + b e^{ax}\cos(bx+c)Вынесем reaxr e^{ax} за скобки и подставим тригонометрические функции угла φ\varphi:y′=reax(arsin⁡(bx+c)+brcos⁡(bx+c))=reax(cos⁡φsin⁡(bx+c)+sin⁡φcos⁡(bx+c))y' = r e^{ax} \left( \frac{a}{r}\sin(bx+c) + \frac{b}{r}\cos(bx+c) \right) = r e^{ax} \big( \cos\varphi\sin(bx+c) + \sin\varphi\cos(bx+c) \big)Применяя формулу синуса суммы, получаем:y′=reaxsin⁡(bx+c+φ)=eax(a2+b2)12sin⁡(bx+c+φ)y' = r e^{ax}\sin(bx+c+\varphi) = e^{ax}(a^2+b^2)^{\frac{1}{2}}\sin(bx+c+\varphi)База индукции выполняется.

Шаг индукции — первое равенство

Предположим, что формула верна для n=kn = k:y(k)=rkeaxsin⁡(bx+c+kφ)y^{(k)} = r^k e^{ax}\sin(bx+c+k\varphi)Докажем, что она верна для n=k+1n = k+1. Продифференцируем y(k)y^{(k)} по xx:y(k+1)=(y(k))′=rk(aeaxsin⁡(bx+c+kφ)+beaxcos⁡(bx+c+kφ))y^{(k+1)} = (y^{(k)})' = r^k \Big( a e^{ax}\sin(bx+c+k\varphi) + b e^{ax}\cos(bx+c+k\varphi) \Big)Снова вынесем reaxr e^{ax}:y(k+1)=rk+1eax(cos⁡φsin⁡(bx+c+kφ)+sin⁡φcos⁡(bx+c+kφ))y^{(k+1)} = r^{k+1} e^{ax} \Big( \cos\varphi\sin(bx+c+k\varphi) + \sin\varphi\cos(bx+c+k\varphi) \Big)Сворачиваем по формуле синуса суммы:y(k+1)=rk+1eaxsin⁡(bx+c+(k+1)φ)y^{(k+1)} = r^{k+1} e^{ax}\sin\big(bx+c+(k+1)\varphi\big)Шаг индукции доказан. Первое равенство справедливо для любого натурального nn.

Второе равенство

y′=aeaxcos⁡(bx+c)−beaxsin⁡(bx+c)y' = a e^{ax}\cos(bx+c) - b e^{ax}\sin(bx+c)Вынося reaxr e^{ax} за скобки, получаем:y′=reax(arcos⁡(bx+c)−brsin⁡(bx+c))=reax(cos⁡φcos⁡(bx+c)−sin⁡φsin⁡(bx+c))y' = r e^{ax} \left( \frac{a}{r}\cos(bx+c) - \frac{b}{r}\sin(bx+c) \right) = r e^{ax} \big( \cos\varphi\cos(bx+c) - \sin\varphi\sin(bx+c) \big)Применяя формулу косинуса суммы, находим:y′=reaxcos⁡(bx+c+φ)=eax(a2+b2)12cos⁡(bx+c+φ)y' = r e^{ax}\cos(bx+c+\varphi) = e^{ax}(a^2+b^2)^{\frac{1}{2}}\cos(bx+c+\varphi)Предполагая истинность для n=kn = k, то есть y(k)=rkeaxcos⁡(bx+c+kφ)y^{(k)} = r^k e^{ax}\cos(bx+c+k\varphi), найдём производную n=k+1n = k+1:y(k+1)=rk(aeaxcos⁡(bx+c+kφ)−beaxsin⁡(bx+c+kφ))y^{(k+1)} = r^k \Big( a e^{ax}\cos(bx+c+k\varphi) - b e^{ax}\sin(bx+c+k\varphi) \Big)y(k+1)=rk+1eax(cos⁡φcos⁡(bx+c+kφ)−sin⁡φsin⁡(bx+c+kφ))=rk+1eaxcos⁡(bx+c+(k+1)φ)y^{(k+1)} = r^{k+1} e^{ax} \Big( \cos\varphi\cos(bx+c+k\varphi) - \sin\varphi\sin(bx+c+k\varphi) \Big) = r^{k+1} e^{ax}\cos\big(bx+c+(k+1)\varphi\big)Второе равенство также доказано для всех nn.

Проверка

Угол φ\varphi определён, если a2+b2>0a^2+b^2>0. При a=b=0a=b=0 обе исходные функции постоянны, поэтому их производные любого положительного порядка равны нулю.

Что и требовалось доказать