Демидович — задача 1213

1. 1
   Доказательство первого равенства:
2. 2
   Проверим
3. 3

   База индукции

   Найдём первую производную функции $y = e^{ax}\sin(bx+c)$, применяя правило дифференцирования произведения:$$y' = a e^{ax}\sin(bx+c) + b e^{ax}\cos(bx+c)$$Вынесем $r e^{ax}$ за скобки и подставим тригонометрические функции угла $\varphi$:$$y' = r e^{ax} \left( \frac{a}{r}\sin(bx+c) + \frac{b}{r}\cos(bx+c) \right) = r e^{ax} \big( \cos\varphi\sin(bx+c) + \sin\varphi\cos(bx+c) \big)$$Применяя формулу синуса суммы, получаем:$$y' = r e^{ax}\sin(bx+c+\varphi) = e^{ax}(a^2+b^2)^{\frac{1}{2}}\sin(bx+c+\varphi)$$База индукции выполняется. Предположим, что формула верна для $n = k$:$$y^{(k)} = r^k e^{ax}\sin(bx+c+k\varphi)$$Докажем, что она верна для $n = k+1$. Продифференцируем $y^{(k)}$ по $x$:$$y^{(k+1)} = (y^{(k)})' = r^k \Big( a e^{ax}\sin(bx+c+k\varphi) + b e^{ax}\cos(bx+c+k\varphi) \Big)$$Снова вынесем $r e^{ax}$:$$y^{(k+1)} = r^{k+1} e^{ax} \Big( \cos\varphi\sin(bx+c+k\varphi) + \sin\varphi\cos(bx+c+k\varphi) \Big)$$Сворачиваем по формуле синуса суммы:$$y^{(k+1)} = r^{k+1} e^{ax}\sin\big(bx+c+(k+1)\varphi\big)$$Шаг индукции доказан. Первое равенство справедливо для любого натурального $n$.

Что и требовалось доказать