Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 5. Производные и дифференциалы высших порядков

Демидович — задача 1212

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Задача и подробное решение по шагам.

y=\frac{\ln x}{x}

Решение

Идея

Дифференциал

n

-го порядка имеет вид

d^ny = y^{(n)} dx^n

.
Представим функцию как произведение

u = \ln x

v = x^{-1}

и применим формулу Лейбница

y^{(n)} = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} u^{(k)} v^{(n-k)}

Выпишем производные сомножителей. Для

v = x^{-1}

формула

m

-й производной стандартна

v^{(n-k)} = (-1)^{n-k} (n-k)! x^{-(n-k+1)}

Для

u = \ln x

нулевая производная равна

u^{(0)} = \ln x

, а для

k \ge 1

производные имеют вид

u^{(k)} = (-1)^{k-1} (k-1)! x^{-k}

Выделим в сумме Лейбница слагаемое, соответствующее

k=0

, и подставим выражения для производных в оставшуюся часть суммы

y^{(n)} = \ln x \cdot (-1)^n n! x^{-n-1} + \sum_{k=1}^n \frac{n!}{k!(n-k)!} (-1)^{k-1} (k-1)! x^{-k} (-1)^{n-k} (n-k)! x^{-n+k-1}

Упростим выражение под знаком суммы. Заметим, что

(-1)^{k-1} (-1)^{n-k} = (-1)^{n-1}

. Факториалы

(n-k)!

сокращаются, а степени

x

объединяются в

x^{-n-1}

y^{(n)} = (-1)^n n! x^{-n-1} \ln x + \sum_{k=1}^n \frac{n! (k-1)!}{k!} (-1)^{n-1} x^{-n-1}

Используя свойство факториала

\frac{(k-1)!}{k!} = \frac{1}{k}

, перепишем сумму

y^{(n)} = \frac{(-1)^n n!}{x^{n+1}} \ln x + \frac{(-1)^{n-1} n!}{x^{n+1}} \sum_{k=1}^n \frac{1}{k}

Вынесем общий множитель

\frac{(-1)^n n!}{x^{n+1}}

за скобки, учитывая, что

(-1)^{n-1} = -(-1)^n

y^{(n)} = \frac{(-1)^n n!}{x^{n+1}} \left( \ln x - \sum_{k=1}^n \frac{1}{k} \right)

Окончательно, умножая на

dx^n

, получаем выражение для дифференциала

n

-го порядка

d^ny = \frac{(-1)^n n!}{x^{n+1}} \left( \ln x - \sum_{k=1}^n \frac{1}{k} \right) dx^n