Раздел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной — § 5. Производные и дифференциалы высших порядков

Демидович — задача 1227

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Доказать, что многочлены Лежандра

P_m(x)=\frac1{2^m m!}\bigl[(x^2-1)^m\bigr]^{(m)}\qquad(m=0,1,2,\ldots)

удовлетворяют уравнению

(1-x^2)P_m''(x)-2xP_m'(x)+m(m+1)P_m(x)=0.

Указание. Продифференцировать

m+1

раз равенство

(x^2-1)u'=2mxu,

где

u=(x^2-1)^m

Доказательство

При

m=0

заданный многочлен равен

1

, а требуемое уравнение обращается в

0=0

. Далее считаем

m\ge1

. Следуя указанию, введём вспомогательную функцию

u = (x^2-1)^m

. Найдём её первую производную:

u' = m(x^2-1)^{m-1} \cdot 2x

Умножим обе части равенства на

(x^2-1)

(x^2-1)u' = m(x^2-1)^m \cdot 2x

Поскольку

(x^2-1)^m = u

, приходим к тождеству:

(x^2-1)u' = 2mxu

Применим к обеим частям этого равенства формулу Лейбница для вычисления

(m+1)

-й производной от произведения двух функций:

(fg)^{(n)} = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} f^{(n-k)} g^{(k)}

Для левой части, где

f = u'

g = (x^2-1)

, отличными от нуля будут только первые три слагаемые суммы (так как третья и последующие производные от многочлена

x^2-1

тождественно равны нулю):

\bigl( (x^2-1)u' \bigr)^{(m+1)} = (x^2-1)u^{(m+2)} + \binom{m+1}{1}(2x)u^{(m+1)} + \binom{m+1}{2}(2)u^{(m)}

Учитывая, что биномиальные коэффициенты равны

\binom{m+1}{1} = m+1

\binom{m+1}{2} = \frac{m(m+1)}{2}

, получаем:

\bigl( (x^2-1)u' \bigr)^{(m+1)} = (x^2-1)u^{(m+2)} + 2x(m+1)u^{(m+1)} + m(m+1)u^{(m)}

Для правой части, где

f = u

g = 2mx

, отличными от нуля будут только первые два слагаемые:

\bigl( 2mxu \bigr)^{(m+1)} = 2mx \cdot u^{(m+1)} + \binom{m+1}{1}(2m) \cdot u^{(m)} = 2mxu^{(m+1)} + 2m(m+1)u^{(m)}

Приравняем полученные выражения:

(x^2-1)u^{(m+2)} + 2x(m+1)u^{(m+1)} + m(m+1)u^{(m)} = 2mxu^{(m+1)} + 2m(m+1)u^{(m)}

Перенесём все слагаемые в левую часть и приведём подобные члены при производных равного порядка:

(x^2-1)u^{(m+2)} + \bigl( 2x(m+1) - 2mx \bigr)u^{(m+1)} + \bigl( m(m+1) - 2m(m+1) \bigr)u^{(m)} = 0

После упрощения коэффициентов имеем:

(x^2-1)u^{(m+2)} + 2xu^{(m+1)} - m(m+1)u^{(m)} = 0

Умножим уравнение на

-1

(1-x^2)u^{(m+2)} - 2xu^{(m+1)} + m(m+1)u^{(m)} = 0

Вспомним исходное определение многочленов Лежандра:

P_m(x) = \frac{1}{2^m m!} u^{(m)}

Отсюда следует связь производных:

P_m'(x) = \frac{1}{2^m m!} u^{(m+1)}, \qquad P_m''(x) = \frac{1}{2^m m!} u^{(m+2)}

Умножив ранее полученное уравнение на константу

\frac{1}{2^m m!}

, мы приходим к требуемому дифференциальному уравнению:

(1-x^2)P_m''(x) - 2xP_m'(x) + m(m+1)P_m(x) = 0

Что и требовалось доказать